Μετά την παρακολούθηση και ουσιαστική εμπέδωση του περιεχομένου των διαλέξεων οι φοιτητές και φοιτήτριες θα έχουν το αναγκαίο μαθηματικό υπόβαθρο για να παρακολουθήσουν μεταπτυχιακού επιπέδου μαθήματα σε: Κβαντική Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητισμό, Κλασική Μηχανική, Στατιστική Φυσική. Κλασικές και Κβαντικές Θεωρίες Πεδίου. Γενική Σχετικότητα και Κοσμολογία (κατόπιν μελέτης στοιχείων διαφορικής γεωμετρίας). Ανάλυση πειραματικών δεδομένων. Επίσης: Θα είναι σε θέση να παρακολουθήσουν προπτυχιακά και μεταπτυχιακά μαθήματα όπου γίνεται ευρεία χρήση εφαρμοσμένων μαθηματικών (σε επιστήμες του μηχανικού, βιολογία, οικονομικές επιστήμες κλπ.) αποκτώντας είτε πριν είτε και κατά τη διάρκειά τους το αναγκαίο υπόβαθρο σε εννοιολογικό επίπεδο. Θα διαθέτουν τα βασικά μαθηματικά εργαλεία για να ξεκινήσουν έρευνα σε οποιοδήποτε πεδίο της Φυσικής ή των Φυσικών Επιστημών. Πιθανότατα, αν όχι βεβαιότατα θα χρειασθεί περαιτέρω επέκταση αυτών των γνώσεων ανάλογα με το αντικείμενο της έρευνάς τους.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ: Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με συμμετρίες Α (δύο παραδείγματα). Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με συμμετρίες Β (τρία παραδείγματα). Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με μιγαδική ανάλυση: Θεωρία. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με μιγαδική ανάλυση: Τρία παραδείγματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με μιγαδική ανάλυση: Τρία παραδείγματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με μιγαδική ανάλυση: Δύο παραδείγματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με μιγαδική ανάλυση: Δύο παραδείγματα.
ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ: Ορισμοί και κριτήρια σύγκλισης σειρών (δύο κριτήρια σύγκλισης). Κριτήρια σύγκλισης σειρών (τρία κριτήρια σύγκλισης). Κριτήρια σύγκλισης σειρών (τέσσερα κριτήρια σύγκλισης). Διπλές σειρές, μετασχηματισμός των Sommerfeld-Watson. Ενδεικτικά παραδείγματα υπολογισμού σειρών (τρία παραδείγματα). Ο τύπος των Εuler-Maclaurin, άπειρα γινόμενα.
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: Ορισμοί, απλές τεχνικές επίλυσης. ΔΕ 2ης τάξης, Εξίσωση του Schrodinger. Γραμμικές ΔΕ. Γραμμικές ΔΕ με σταθερούς συντελεστές. Ομαλά και ανώμαλα σημεία γραμμικών ΔΕ. ΔΕ τύπου Fuchsian. ΔΕ με τρία ανώμαλα σημεία. Ενδεικτικά παραδείγματα Α (τρία παραδείγματα).Ενδεικτικά παραδείγματα Β (δύο παραδείγματα).
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ GREEN: Ορισμός και κατασκευή συναρτήσεων Green Ενδεικτικά παραδείγματα A (Δύο παραδείγματα σε 1 διάσταση) Ενδεικτικά παραδείγματα B (Δύο παραδείγματα σε 1 διάσταση) Ενδεικτικά παραδείγματα Γ (Δύο παραδείγματα σε 3 διαστάσεις) Ενδεικτικά παραδείγματα Δ (Ένα παράδειγμα σε 2 διαστάσεις.
ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ: Προβλήματα κυλινδρικής συμμετρίας - Εξίσωση Laplace, συναρτήσεις Bessel και Neumann. Οριακή συμπεριφορά, Γεννήτρια συνάρτηση. Ολοκληρωτική αναπαράσταση, ταυτότητες, σημεία μηδενισμού. Ορθογωνιότητα και πληρότητα συναρτήσεων Bessel. Υπολογισμός σταθερών κανονικοποίησης και ολοκληρωμάτων. Συναρτήσεις Hankel. Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel.
Προβλήματα σφαιρικής συμμετρίας - Εξίσωση και πολυώνυμα Legendre. Ορθογωνιότητα και πληρότητα πολυωνύμων Legendre. Γεννήτρια συνάρτηση, αναδρομικές σχέσεις, συναρτήσεις Legendre 2ου είδους. Προσεταιρισμένες συναρτήσεις Legendre και σφαιρικές αρμονικές. Κυματική εξίσωση και σφαιρικές συναρτήσεις Bessel. Ενδεικτικά παραδείγματα A (Δύο παραδείγματα). Ενδεικτικά παραδείγματα Β (Δύο παραδείγματα).
Γενικά ορθογώνια πολυώνυμα - Ανάπτυξη της γενικής θεωρίας Α. Ανάπτυξη της γενικής θεωρίας Β. Πολυώνυμα Jacobi. Πολυώνυμα Gegenbauer. Πολυώνυμα Hermite. Πολυώνυμα Laguerre. Πολυώνυμα Chebyshev. Υπεργεωμετρική συνάρτηση. Συρρέουσα υπεργεωμετρική συνάρτηση. Σχέσεις ειδικών και υπεργεωμετρικών συναρτήσεων
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ: Γενική ιδέα, μετασχηματισμός Laplace. Οριακή συμπεριφορά, αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace. Ενδεικτικά παραδείγματα μετασχηματισμού Laplace A (Δύο παραδείγματα). Ενδεικτικά παραδείγματα μετασχηματισμού Laplace Β (Δύο παραδείγματα). Μετασχηματισμός Fourier: Γενική θεωρία και ιδιότητες. Μερικές ιδιότητες και θεωρήματα του μετασχηματισμού Fourier και η φυσική τους σημασία. Ενδεικτικά παραδείγματα μετασχηματισμού Fourier.Μετασχηματισμός Hankel. Μετασχηματισμός Melin. Μετασχηματισμός Hilbert. Επανάθροιση Poisson.
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ: Γενικότητες, μοναδιαία διανύσματα. Παράγωγοι. Η Λαπλασιανή, αλλαγή συντεταγμένων. Παραδείγματα γενικευμένων συστημάτων συντεταγμένων.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ: Ορισμοί, χαρακτηριστική συνάρτηση, ροπές. Διωνυμική κατανομή, κατανομές Poisson και Gauss. Θεώρημα μέσης τιμής. Ενδεικτικά παραδείγματα Α (δύο παραδείγματα). Ενδεικτικά παραδείγματα Α (ένα παράδειγμα).
