Ο καρκίνος είναι μία από τις κύριες αιτίες θανάτου του σύχρονου κόσμου. Πολλοί
επιστήμονες από διάφορα επιστημονικά πεδία όπως των μαθηματικών, της ιατρικής, της
βιολογίας, της φυσικής και της χημείας έχουν ενώσει τις γνώσεις τους και προσπαθούν
να κατανοήσουν σε βάθος όχι μόνο τις αιτίες πρόκλησής του αλλά και τους τρόπους
αντιμετώπισης του. ΄Οπως είναι φυσικό ένα τόσο πολύπλοκο φαινόμενο δεν είναι εύκολο
να μελετηθεί. Θα πρέπει κανείς να λάβει υπόψιν του πολλές παραμέτρους για την
κατανόηση του.
Από μαθηματικής μεριάς η προτυποιήση του καρκίνου είναι ζωτικής σημασίας καθώς
επιτρέπει την καλύτερη κατανόηση του. Τα μαθηματικά μοντέλα που έχουν παρουσια-
στεί και μελετηθεί τα τελευταιά χρόνια περιγράφουν τις διαδικασίες δημιουργίας και
εξέλιξης του καρκινικού όγκου καθώς και την επίδραση των διαφόρων φαρμάκων για
την αντιμετώπισή του.
Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να μελετήσει την δυναμική μιας
κλάσης μοντέλων που αφορούν την ανάπτυξη του καρκινικού όγκου και είναι γνωστά
με το όνομα mixed μοντέλα. Το κύριο χαρακτηριστικό αυτών των μοντέλων είναι ότι οι
διαφορετικοί πληθυσμοί των κυττάρων είναι παρών κάθε χρονική στιγμή παντού μέσα
στον καρκινικό όγκο.
Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας διπλωματικής εργασίας γίνεται μία εισαγωγή
για τον καρκίνο και παραθέτονται κάποια βασικά στοιχεία βιολογίας που σχετίζονται
με την ανάπτυξη των καρκινικών όγκων. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται η μαθηματική
προτυποποίηση του μοντέλου που μελετάμε και παρουσιάζονται όλες οι απαραίτητες
πληροφορίες για την κατανόηση του. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικά
εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε για την ανάλυση του μαθηματικού μας προτύπου,
παρουσιάζουμε τον ασθενή φορμαλισμό του προβλήματός μας και το κύριο αποτέλε-
σμα, επίσης παρουσιάζουμε το penalized πρόβλημα και την κατασκευή κατάλληλων
προσεγγιστικών λύσεων, δίνουμε ένα σχεδιάγραμμα για την ύπαρξη λύσεων του penalized
προβλήματος στον υγιή ιστό και βρίσκουμε όλα τα ομοιόμορφα φράγματα που
ικανοποιούνται από την λύση του penalized προβλήματος. Στο τέταρτο κεφάλαιο εκτε-
λούνται διαδοχικά τα ιδιόμορφα όρια ε → 0 και ω→ 0. ΄Ενα πολύ σημαντικό κομμάτι
στο penalization όριο είναι να ῾῾ξεφορτωθούμε᾿᾿ όλους τους όρους που υποστηρίζονται
στον υγιή ιστό ((0, T) × B) \ QT . Το βασικό είναι να περιγράψουμε την εξέλιξη του
συνόρου Γτ και για αυτό τον λόγο παρουσιάζουμε κάποια στοιχεία από την level set μέ-
θοδο. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετάμε το ίδιο μοντέλο που παρουσιάστηκε στο δεύτερο
κεφάλαιο όμως αυτή την φορά χωρίς την παρουσία φαρμάκου, όπου και ακολουθούμε
για την επίλυση του την ίδια διαδικασία με τα προηγούμενα κεφάλαια. Στο έκτο κεφά-
λαιο παρατηρούμε ότι οι λύσεις μας εμφανίζουν ένα νεκρωτικό πυρήνα όταν το θρεπτικό
συστατικό πέσει κάτω από την κρίσιμη τιμή σύμφωνα με της παρατηρήσεις που έχουν
γίνει ιατρικά. Το ίδιο αριθμητικό πείραμα πραγματοποιήθηκε και για την περίπτωση της
χορήγης του φαρμάκου με σκοπό την σύγκριση των αποτελεσμάτων. Αναλόγως με την
ισορροπία μεταξύ του θρεπτικού συστατικού και του φαρμάκου μπορεί ο όγκος να αυ-
ξηθεί ή να μειωθεί. Παρατηρούμε επίσης ότι οι μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες,
η ανισοτροπίες και η αγγείωση επηρεάζουν την εμφάνιση ανωμαλιών στο σχήμα του
όγκου. Στο τελευταίο κεφάλαιο δίνονται κάποιες βασικές έννοιες από την αναλύση, με
τις οποίες ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξοικειωμένος για να μπορέσει να μελετήσει
με ευκολία την παρούσα διπλωματική εργασία.
Cancer is one of the leading causes of death in our century. Hundreds of scientists
from different research areas as mathematics, medicine, biology, physics and chemistry
try to combine their knowledge and understand in depth not only the main
causes of this disease but to find its cure as well! As we expected its not easy to
understand and to study such a complicated disease. One should take into account
so many parameters in order to realize what cancer is!
From a mathematical point of view mathematical modeling of cancer is a key
part that can lead us to understand it in depth. The mathematical models that
have been studied and presented the last few years describe both the processes of
the creation and growth of a tumor and the effect of various treatments in dealing
with it.
The aim of the present thesis is to investigate the dynamics of a class of tumor
growth models, that are known as mixed models. The key characteristic of these type
of tumor growth models is that the different populations of cells are continuously
present everywhere in the tumor at all times.
The first chapter of this thesis is an introduction about cancer and some basic
biological facts about tumor growth are presented. In the second chapter we not
only present the mathematical modeling but we present all the necessary preliminary
material as well. In the third chapter we present a weak formulation of the problem
and the main result of this thesis. Moreover we present the penalized problem and
we construct a suitable approximation scheme, after that we give a sketch on the
existence of solutions of the penalized problem in the healthy tissue and we present
all the uniform bounds satisfied by the solution of the penalized scheme. In the
fourth chapter the singular limits ε → 0 and ω → 0 are performed successively. A
key part in the penalization limit is to get rid of the terms supported in the healthy
tissue part i.e. ((0, T) × B) \ QT . The main issue is to describe the evolution of
the interface Γτ , for this reason we employ elements from the level set method. In
the fifth chapter we present the same model as described in the second chapter
but without any drug application and we study this case using the same tools as
in the previous chapters. In the sixth section extensive numerical tests show that
solutions exhibit a necrotic core when the nutrient level falls below a critical level
in accordance with medical observations. In the case of drug application the same
numerical experiment is performed for the purpose of comparison. Depending on
the balance between nutrient and drug both shrinkage and growth of tumors can
occur. The inhomogeneous boundary conditions, vascularization and anisotropies
can affect the development of tumor shape irregularities. In the last chapter we
present some basic definitions and propositions from analysis that the reader must
be familiar with in order to study this master thesis.
Περιέχει: σχήματα, διαγράμματα και εικόνες.
