Η συνάρτηση Green σε υπερβολικές και παραβολικές εξισώσεις

 
This item is provided by the institution :

Repository :
Institutional Repository of the Hellenic Open University
see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*
share



Thesis (EN)

2018 (EN)
Green function in hyperbolic and parabolic equations
Η συνάρτηση Green σε υπερβολικές και παραβολικές εξισώσεις

Καραχάλιου, Μαρίνα

Νικολόπουλος, Χρήστος
Χατζηνικολάου, Μαρία
Βλάμος, Παναγιώτης

In the present work we study problems of Mathematical Physics in which the solution is expressed by means of the Green function. In every problem a discussion on the physical meaning of Green’s function on the mathematical expression of the solution is introduced. The present study refers to problems in partial differential equations and in particular, to initial value one-, two- and three-dimensional problems in hyperbolic and parabolic equations with Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions. The first chapter is introductory. In this we derive the equation of motion of a wave propagating along a finite string or/and along a plane membrane as well as the equation of the heat conduction in space. We also express function in terms of Fourier series, in order to determine the displacement with time of the points of a string or a plane surface under the action of an impulse or to determine the temperature distribution on a thin rod or a plane membrane under the action of an instant point heat source. Finally, when the region is infinite, we express Fourier series in integral form, so that we can employ the appropriate form for the description of the wave propagation and heat conduction in unbounded regions. In the second chapter we derive the Green function either for a one-dimensional wave (free and forced oscillations of a string) or for a two-dimensional wave (free and forced oscillations of a plane orthogonal or circular membrane) under various initial and boundary conditions (Dirichlet, Neumann, Robin). We also derive Green function for an infinite string employing the expression for a finite string and present indicative problems/examples to show the application of a known Green function on the determination of the wave equation. In the third chapter we refer to the distribution of the temperature in finite regions in one-, two- and three dimensions and determine Green function for various initial and boundary conditions (Dirichlet, Neumann, Robin). The fourth chapter is an extension of the preceding chapter to unbounded regions in 1-and 2- dimensions. Related problems on the heat conduction in either unbounded or semi-bounded 1- dimensional regions are discussed and the corresponding expressions for Green function are produced.
2 Διαγράμματα
Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετώνται προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής, στα οποία η λύση εκφράζεται μέσω της έννοιας της συνάρτησης Green. Kάθε πρόβλημα συνοδεύεται από συζήτηση για την φυσική σημασία της συνάρτησης Green στην μαθηματική έκφραση των λύσεων. Η μελέτη αναφέρεται σε προβλήματα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και περιλαμβάνει προβλήματα αρχικών τιμών σε υπερβολικές και παραβολικές εξισώσεις σε μία, δύο ή τρεις διαστάσεις με συνοριακές συνθήκες Dirichlet, Neumann και Robin. Το πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό. Σε αυτό εξάγονται οι διαφορικές εξισώσεις που αναφέρονται στην διάδοση εγκάρσιου κύματος σε χορδή, στην διάδοση εγκάρσιου κύματος σε επίπεδη επιφάνεια και στην διάδοση θερμικού κύματος στον χώρο. Επίσης, προσδιορίζονται οι εκφράσεις της συνάρτησης υπό μορφή σειράς Fourier με σκοπό την χρήση της για τον υπολογισμό της απομάκρυνσης των σημείων χορδής ή επιφάνειας υπό την επίδραση ξαφνικής σημειακής ώθησης και για τον υπολογισμό της θερμοκρασίας των σημείων ράβδου ή επιφάνειας υπό την επίδραση σημειακής θερμικής πηγής. Τέλος, εκφράζεται η σειρά Fourier υπό μορφή ολοκληρώματος, με σκοπό την περιγραφή της κυματικής διάδοσης και της αγωγής θερμότητας σε χώρο απείρων διαστάσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο προσδιορίζεται η έκφραση της συνάρτησης Green για μονοδιάστατο κύμα(ελεύθερη ή εξαναγκασμένη ταλάντωση χορδής) και δισδιάστατο κύμα (ελεύθερη ή εξαναγκασμένη ταλάντωση ορθογώνιας και κυκλικής επιφάνειας) υπό διάφορες αρχικές συνθήκες. Οι περιπτώσεις που αναλύονται αφορούν σε συνοριακές συνθήκες Dirichlet, Neumann και Robin. Το κεφάλαιο κλείνει με την εύρεση της συνάρτησης Green σε χορδή απείρου μήκους και με την παράθεση ενδεικτικών παραδειγμάτων στα οποία η συνάρτηση Green είναι δεδομένη και μέσω αυτής προσδιορίζεται η εξίσωση του κύματος. Στο τρίτο κεφάλαιο προσδιορίζεται η έκφραση της συνάρτησης Green σε προβλήματα κατανομής της θερμοκρασίας σε χώρους πεπερασμένων διαστάσεων (λεπτή ράβδος, επίπεδη μεμβράνη, κύβος). Οι περιπτώσεις που αναλύονται αφορούν σε συνοριακές συνθήκες Dirichlet, Neumann και Robin και σε διάφορες αρχικές συνθήκες. Το τέταρτο κεφάλαιο είναι επέκταση του τρίτου κεφαλαίου και σε αυτό προσδιορίζεται η έκφραση της συνάρτησης Green σε προβλήματα κατανομής της θερμοκρασίας σε ράβδο απείρου μήκους και σε επίπεδη επιφάνεια απείρων διαστάσεων.

Διπλωματική Εργασία / Thesis

Συνάρτηση Green
Ταλάντωση Χορδής
Ταλάντωση Επιφάνειας
Συνάρτηση δ
Ολοκλήρωμα Fourier
Διάδοση Θερμότητας

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο (EL)
Hellenic Open University (EN)

Greek

2018-05-12
2018-05-23T05:39:25Z


Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο / Hellenic Open University

1
2
224



*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)