This item is provided by the institution :

Repository :
Institutional Repository of the Hellenic Open University
see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*

Thesis (EN)

2018 (EN)
Χώροι Hilbert και Φασματική Θεωρία
Hilbert Spaces and Spectral Theory

Ντεγιαννάκης, Νεκτάριος

Μπούκας, Ανδρέας

The subject of the dissertation is the study of Hilbert Spaces and the Spectrum of bounded self-adjoint operators on Hilbert Spaces. The dissertation consists of two chapters. In the first chapter, the properties of Hilbert Spaces and the properties of Projections, which are a significant family of linear operators, are studied. Using the Projection Theorem and the Riesz Theorem it is shown that every Hilbert Space has an orthonormal basis. Furthermore, if the space is separable then this basis is countable. In the second chapter, the spectrum of bounded self-adjoint operators, whose domain is a Hilbert space, is studied. It is shown that the resolvent and the spectrum of a bounded self-adjoint operator do not equal to null set. Furthermore, it is proved that a bounded self-adjoint operator does not have a residual spectrum and that its spectrum lies in the closed interval [m,M] where m, M are the lower and the upper bounds of the operator, respectively. Moreover, spectral measures and spectral integral are defined and the spectral family of bounded self-adjoint operators is studied. Finally, the proof of the spectral theorem concerning the above-mentioned family of operators is presented and the criteria based on, which an element of the interval [m,M] belongs in the spectrum or in the resolvent, are defined.
Το αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη των Χώρων Hilbert και η μελέτη του φάσματος φραγμένων αυτοσυζυγών τελεστών στους χώρους αυτούς. Η εργασία αποτελείται από δύο κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μελέτη των ιδιοτήτων των Χώρων Hilbert και μιας σημαντικής οικογένειας γραμμικών τελεστών, των Προβολών. Με χρήση του Θεωρήματος των Προβολών και του Θεωρήματος του Riesz αποδεικνύεται ότι κάθε χώρος Hilbert έχει μια ορθοκανονική βάση, αν επιπλέον ο χώρος είναι διαχωρίσιμος αποδεικνύεται ότι αυτή η βάση είναι αριθμήσιμη. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μελέτη του φάσματος φραγμένων αυτοσυζυγών τελεστών, οι οποίοι έχουν πεδίο ορισμού ένα χώρο Hilbert Η. Αποδεικνύεται ότι το επιλύον σύνολο, καθώς και το φάσμα ενός μη μηδενικού τελεστή αυτής της οικογένειας δεν είναι ίσα με το κενό σύνολο. Επίσης αποδεικνύεται ότι, ένας φραγμένος αυτοσυζυγής τελεστής δεν έχει υπολειπόμενο φάσμα, και το φάσμα του περιέχεται σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών της μορφής [m,M] όπου m, M είναι αντίστοιχα το κάτω και το άνω φράγμα του τελεστή. Στη συνέχεια ορίζονται τα φασματικά μέτρα και τα φασματικά ολοκληρώματα και γίνεται μελέτη της φασματικής οικογένειας των φραγμένων αυτοσυζυγών τελεστών. Τέλος, γίνεται απόδειξη του φασματικού θεωρήματος που αφορά αυτήν την οικογένεια τελεστών και δίνονται τα κριτήρια βάσει των οποίων ένα στοιχείο του διαστήματος [m,M] εντάσσεται στο φάσμα ή στο επιλύον σύνολο του τελεστή.

Διπλωματική Εργασία / Thesis

Θεώρημα των Προβολών
Χώροι Hilbert
Projection Theorem
Φασματικό ολοκλήρωμα
Hilbert Spaces
Φασματική Θεωρία
Φασματικό Θεώρημα
Spectral integral
Spectral Theory
Spectral Theorem

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο (EL)
Hellenic Open University (EN)



Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο / Hellenic Open University


Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)