In recent years, it has been realized that a great deal can be said about the mathematics of non-smooth sets. Those irregular sets provide a much better representation of many natural phenomena than do figures of classical geometry. The general framework for the study of such irregular sets is Fractal geometry. The purpose of this dissertation is to analyze some basic notions of Fractal geometry.
The first pack of this dissertation is dedicated to the theoretical mathematical background that is necessary for the study of fractal theory also, some simple examples of fractals and their features are introduced.
The second part deals with the concept of fractal dimension. Starting with the definition of Box-counting, Minkowski and Hausdorff dimension we calculate those dimensions using theorems on basic fractal sets.
The third part deals with the applications of fractals especially with the iterated function system and self-similarity, which under some special conditions defines a fractal set. Finally, some examples are given on how we apply this theory.
Περιέχει : Σχήματα, εικόνες, μαθηματικούς τύπους, γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.
Τις τελευταίες δεκαετίες παρατηρούμε μια αλλαγή στον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε, σκεφτόμαστε και ταξινομούμε μια ορισμένη κλάση ιδιόμορφων και πολύπλοκων όπως συνήθως χαρακτηρίζονταν συνόλων. Τα σύνολα αυτά πλέον αποτελούν αντικείμενο μελέτης μια γενικότερης μαθηματικής θεωρίας υπό τον τίτλο Γεωμετρία των μορφο-κλασματικών συνόλων ή Fractal Γεωμετρία .
Γεωμετρία όχι με την έννοια των κλασικών ευκλείδειων όρων, δηλαδή συνόλων που τα στοιχεία τους ικανοποιούν κάποιου είδους απλή γεωμετρική συνθήκη ή αποτελούν λύσεις μιας απλής εξίσωσης, αλλά με κάποια ουσιαστική αναθεώρηση.
Η νέα αυτή θεώρηση των συγκεκριμένων συνόλων, τα οποία ονομάζουμε Fractal-σύνολα, μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να τα μελετήσουμε. Η Γεωμετρία των Fractals έχει αλλάξει τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε την φύση, τα φυσικά και τα βιολογικά φαινόμενα. Έτσι ένα μεγάλο μέρος της μαθηματικής έρευνας έχει εστιάσει στην μελέτη των πολύπλοκων αυτών συνόλων .
Τις βασικές αρχές τις είχε επισημάνει ο Hausdorff ήδη από το 1918 ορίζοντας την έννοια της Hausdorff διάστασης (χρησιμοποιώντας ιδέες του Κ.Καραθεοδωρή) και μαζί με τον Besicovitch έθεσαν τα θεμέλια για την ανάπτυξη της σχετικής θεωρίας. Πατέρας όμως των Fractals θεωρείται ο Mandelbrot ο οποίος συστηματικοποίησε και μελέτησε την περιοχή αυτή από την δεκαετία του 70 . Έκτοτε και με την αύξηση της ταχύτητας των ηλεκτρονικών υπολογιστών που επαλήθευσαν την ισχύ των ιδεών του Mandelbrot η ανάπτυξη υπήρξε ραγδαία .
Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες της θεωρίας όπως η διάσταση Fractal συνόλων , η αυτοομοιότητα και θα αναλυθούν βασικά παραδείγματα και εφαρμογές τους.
Ξεκινώντας με την εισαγωγή στην οποία παρατίθενται μερικά από τα πιο γνωστά Fractal σύνολα μέσω εικόνων και σχημάτων με σκοπό την κατανόηση του τρόπου που δημιουργούνται και των ιδιοτήτων που τα χαρακτηρίζουν.
Στο αρχικό μέρος της εργασίας υπάρχει το θεωρητικό μαθηματικό υπόβαθρο που απαιτείται για την κατανόηση και μελέτη των εννοιών που θα παρουσιαστούν από διάφορους τομείς των μαθηματικών.
Στο πρώτο μέρος αναλύεται η έννοια της διάστασης και εξετάζονται τρόποι για να την ορίσουμε. Δίνονται παραδείγματα και τεχνικές υπολογισμού διάστασης των βασικότερων Fractal συνόλων και αποδεικνύονται βασικές προτάσεις και θεωρήματα.
Στο δεύτερο μέρος ορίζονται και αναλύονται τα αυτοόμοια και συσχετισμένα σύνολα καθώς και τα συστήματα επαναληπτικών συναρτήσεων, που κάτω από κατάλληλες συνθήκες δημιουργούν Fractal σύνολα. Υπολογίζονται διαστάσεις των παραπάνω συνόλων και μελετάται το πλαίσιο που τα περιβάλει
