Η εξίσωση Wigner (Wigner equation) είναι μια μη-τοπική (non-local) εξίσωση εξέλιξης στον χώρο των φάσεων (phase space). Περιγράφει την εξέλιξη του Weyl συμβόλου του τελεστή πυκνότητας (density operator) ο οποίος, εν γένει, διέπεται από την εξίσωση Liouville-von Neumann της κβαντομηχανικής. Για καθαρές κβαντικές καταστάσεις (pure states), η εξίσωση Wigner είναι μια ισοδύναμη αναδιατύπωση της βασικής εξίσωσης της κβαντικής μηχανικής, της εξίσωσης Schrodinger και θα μπορούσε επίσης να παραχθεί με έναν τελεστικό τρόπο, θεωρώντας τον μετασχηματισμό Wigner (Wigner transform) της κυματοσυνάρτησης, χωρίς τη χρήση του λογισμού Weyl (Weyl calculus).
Σε αυτήν τη διατριβή, κατασκευάζουμε μια προσεγγιστική λύση της εξίσωσης Wigner εκ-φρασμένη σε όρους συναρτήσεων Airy (Airy function), οι οποίες συγκεντρώνονται ημικλα-σικά πάνω σε κάποιες Λαγκραντζιανές καμπύλες (Lagrangian curves) στον διδιάστατο χώρο των φάσεων. Οι καμπύλες αυτές ορίζονται από τις ιδιοτιμές και την Χαμιλτωνιανή συνάρτηση (Hamiltonian function) του συσχετιζόμενου μονοδιάστατου τελεστή Schrodinger, και παίζουν κρίσιμο ρόλο στον μηχανισμό της κβαντικής αλληλεπίδρασης (quantum interference mecha¬nism) στον χώρο των φάσεων. Δεχόμαστε ότι το δυναμικό του τελεστή Schrodinger είναι ένα μονό πηγάδι δυναμικού (single-well potential) τέτοιο ώστε το φάσμα (spectrum) να είναι διακριτό.
Η κατασκευή ξεκινάει από ένα ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων (eigenfunction series expan¬sion) της λύσης, το οποίο παράγεται εδώ με έναν συστηματικό τρόπο για πρώτη φορά, συνδυ¬άζοντας την στοιχειώδη τεχνική του χωρισμού μεταβλητών με φασματικά αποτελέσματα για τον εκθετικό τελεστή Moyal (Moyal star exponential operator). Οι ιδιοσυναρτήσεις της εξίσω¬σης Wigner είναι οι μετασχηματισμοί Wigner των ιδιοσυναρτήσεων του τελεστή Schroodinger και προσεγγίζονται με όρους της συνάρτησης Airy, από μια προσέγγιση ομοιόμορφης στάσιμης φάσης των μετασχηματισμών Wigner των αναπτυγμάτων WKB των ιδιοσυναρτήσεων του τε¬λεστή Schrodinger. Μολονότι οι προσεγγίσεις WKB των ιδιοσυναρτήσεων Schrodinger έχουν
μη-φυσικές ιδιομορφίες (non-physical singularities) στα σημεία καμπής (turning points) της κλασικής Χαμιλτωνιανής (classical Hamiltonian), οι ιδιοσυναρτήσεις στον χώρο των φάσεων δίνουν φραγμένα και σε σωστή κλίμακα κυματικά πλάτη (wave amplitudes) όταν αυτά προβάλ-λονται πίσω στον εποπτικό χώρο (configuration space) (ομοιομορφοποίηση (uniformization)).
Επομένως, η προσέγγιση της σειράς ιδιοσυναρτήσεων είναι μια προσεγγιστική λύση της εξίσωσης Wigner, η οποία μέσω της προβολής στον εποπτικό χώρο δίνει ένα προοσεγγιστικό κυματικό πλάτος χωρίς ιδιομορφίες. Εν γένει, αναμένεται ότι, το παραγόμενο κυματικό πλάτος είναι φραγμένο και σε σωστή κλίμακα ακόμα και επάνω στις καυστικές, αφού, μόνο πεπερασμένοι όροι των προσεγγίσεων είναι σημαντικοί για αρχικές κυματοσυναρτήσεις WKB (WKB initial wave functions) με πεπερασμένη ενέργεια.
Οι λεπτομέριες των υπολογισμών παρουσιάζονται για το απλό δυναμικό του αρμονικού τα-λαντωτή , ώστε να είναι δυνατόν να ελεγχούν οι προσεγγίσεις μας αναλυτικά. Όμως, η ίδια κατασκευή μπορεί να εφαρμοστεί για οποιοδήποτε πηγάδι δυναμικού το οποίο συμπεριφέρεται όπως ο αρμονικός ταλαντωτής κοντά στον πάτο του πηγαδιού. Σε γενικές γραμμές, η κατασκευή αυτή θα μπορούσε να επεκταθεί σε υψηλότερες διαστάσεις χρησιμοποιώντας κανονικές μορφές (canonical forms) των Χαμιλτωνιανών συναρτήσεων και τη συμπλεκτική συνδιακύμανση (sym-plectic covariance) που προκύπτει από την αναπαράσταση Wey στην εξίσωση Wigner.
(EL)
The Wigner equation is a non-local, evolution equation in phase-space. It describes the evolution of the Weyl symbol of the density operator which, in general, is governed by the Liouville-von Neumann equation of quantum mechanics. For pure quantum states, the Wigner equation is an equivalent reformulation of the standard quantum-mechanical Schrodinger equation, and it could be also derived in an operational way by considering the Wigner transform of the quantum wave function, without using the Weyl calculus.
In this thesis, we construct an approximate solution of the Wigner equation in terms of Airy functions, which are semiclassically concentrated on certain Lagrangian curves in two-dimensional phase space. These curves are defined by the eigenvalues and the Hamil-tonian function of the associated one-dimensional Schrodinger operator, and they play a crucial role in the quantum interference mechanism in phase space. We assume that the potential of the Schrodinger operator is a single-well potential such that the spectrum is dis¬crete. The construction starts from an eigenfunction series expansion of the solution, which is derived here for first time in a systematic way, by combining the elementary technique of separation of variables with involved spectral results for the Moyal star exponential operator. The eigenfunctions of the Wigner equation are the Wigner transforms of the Schrodinger eigenfunctions, and they are approximated in terms of Airy functions by a uni¬form stationary phase approximation of the Wigner transforms of the WKB expansions of the Schrodinger eigenfunctions. Although the WKB approximations of Schrodinger eigen-functions have non-physical singularities at the turning points of the classical Hamiltonian, the phase space eigenfunctions provide bounded, and correctly scaled, wave amplitudes when they are projected back onto the configuration space (uniformization).
Therefore, the approximation of the eigenfunction series is an approximated solution of the Wigner equation, which by projection onto the configuration space provides an approx¬imate wave amplitude, free of turning point singularities. It is generally expected that, the
derived wave amplitude is bounded, and correctly scaled, even on caustics, since only finite terms of the approximate terms are significant for WKB initial wave functions with finite energy.
The details of the calculations are presented for the simple potential of the harmonic oscillator, in order to be able to check our approximations analytically. But, the same con¬struction can be applied to any potential well which behaves like the harmonic oscillator near the bottom of the well. In principle, this construction could be extended to higher di¬mensions using canonical forms of the Hamiltonian functions and employing the symplectic covariance inherited by the Weyl representation into the Wigner equation.
(EN)
