Μελέτη μη ερμητιανών PT-συμμετρικών πλεγματικών Χαμιλτονιανών
Study of non-hermitian PT -symmetric lattice Hamiltonians
Πατατούκος, Κοκκιμίδης Σ.
Τομαράς, Θεόδωρος
Στην εργασία που ακολουθεί, παρουσιάζεται μια μελέτη μη ερμητιανών PT-συμμετρικών πλεγματικών Χαμιλτονιανών. Το 1998, ο Bender και οι συνεργάτες του [1][2][3], ανακάλυψαν ότι οι PT-συμμετρικοί τελεστές, παρόλο που είναι μη ερμητιανοί, μπορούν να έχουν εξ ολοκήρου ή εν μέρει αληθινό φάσμα ιδιοτιμών. Στην εργασία αυτή επικεντρώνουμε στη μελέτη Χαμιλτονιανών τελεστών οι οποίοι είναι PT-συμμετρικοί και δείχνουμε πως μπορεί κανείς να προβλέψει την πραγματικότητα ή μιγαδικότητα του φάσματος των ιδιοτιμών και το σημείο της μετάβασης στη λεγόμενη PT-σπασμένη φάση, όπου οι ιδιοτημές της Χαμιλτονιανής γίνονται μιγαδικές. Έπειτα, στην εργασία υπάρχει μία υπολογιστική μελέτη διαφόρων PT-συμμετρικών Χαμιλτονιανών, στις οποίες μελετάμε το φάσμα των ιδιοτιμών και τη δομή των (ενεργειακών) ζωνών όσο αλλάζουμε την χωρική συχνότητα του φανταστικού μέρους των δυναμικών. Επιπλέον, μελετήσαμε την διάθλαση οπτικών κυματο-πακέτων σε πλέγματα που ακολουθούν τις συγκεκριμένες Χαμιλτονιανές και μπορεί κανείς να δει τις ενδιαφέρουσες και τελείως αντίθετες με τη κοινή διαίσθηση ιδέες της συμμετρίας PT στη δυναμική και διάδοση οπτικών κυμάτων σε τέτοια δυναμικά. Είναι αρκετά ενδιαφέρον το γεγονός ότι παρόλο μη ερμιτιανές, μερικές Χαμιλτονιανές έχουν εξ ολοκλήρου πραγματικό φάσμα ιδιοτιμών, το οποίο θεωρείται βασικό χαρακτηριστικό της συμμετρίας PT. Αυτό το γεγονός μας βοηθά να παρακάμψουμε ένα από τα αξιώματα της Κβαντομηχανικής το οποίο είναι ότι οι τελεστές που αναπαριστούν φυσικές ποσότητες πρέπει να είναι ερμιτιανοί.
(EL)
In the following thesis a study of non-Hermitian PT-symmetric lattice Hamiltonians is presented. In 1998, it has been discovered by Bender et.al [1][2][3], that PT-symmetric operators however non-Hermitian, have completely or partially real eigenvalue spectrum. We focus our attention to the study of Hamiltonian operators that are PT-symmetric and show how one can predict the reality or complexity of the spectrum and the point of transition to the so-called broken PT phase, where the eigenvalues become complex. After that there is also a numerical study of various PT-symmetric Hamiltonians in which their eigenvalue spectrum and band structure is investigated as the spatial frequency of the imaginary potential increases. Moreover, wavepacket diffraction has been studied in these lattices. One can discern the interesting and counter intuitive ideas of the PT-symmetry in wave propagation dynamics. It is quite interesting the fact that however non-Hermitian some Hamiltonians have a completely real eigenvalue spectrum, which is considered to be a trait of the PT-symmetry. This fact helps us bypass one of the axioms of Quantum Mechanics which is that the operators that represent physical quantities must be Hermitian.
(EN)
