Στοιχεία πεπερασμένων σωμάτων με δεδομένη τάξη και δεδομένα ίχνη

Finite Field Elements with Specified Order and Traces

Μαργαρίτη, Ηλιάνα Εμμανουήλ

Γαρεφαλάκης, θεόδουλος

Έστω Fq πεπερασμένο σώμα τάξης q, όπου q είναι δύναμη ενός πρώτου αριθμού p. Υποθέτουμε ότι f1(x),...,fr(x) (με r ≥1) είναι δεδομένα πολυώνυμα του Fqn [x] όπου n θετικός ακέραιος και t1,...,tr είναι δεδομένα στοιχεία του Fq. Στην εργασία αυτή θα αποδείξουμε ότι για δεδομένο θετικό ακέραιο l και για ικανοποιητικά μεγάλους ακεραίους n με l|qn - 1, υπάρχει ένα στοιχείο γ της επέκτασης Fqn τάξης (qn - 1) / l τέτοιο ώστε το Fq - ίχνος του fi(γ) να είναι το συγκεκριμένο στοιχείο ti για κάθε i = 1,..., r. Για να μπορέσουμε όμως να το αποδείξουμε κάνουμε την εξής υπόθεση: Έστω h(x) = Σri=1cifi(x) όπου ci ∈ Fq, i = 1,...,r και degh(x) = s. Υποθέτουμε ότι, είτε:(i) (s,q) = 1 για όλα τα διαφορετικά πολυώνυμα h(x) που παράγονται καθώς τα ci, i = 1,...,r διατρέχουν τα στοιχεία του Fq, είτε γενικότερα : (ii) το πολυώνυμο zq - z - h(x) είναι ανάγωγο σε μία αλγεβρική θήκη του Fqn για όλα τα διαφορετικά πολυώνυμα h(x). Ο Cohen αποδεικνύει το Θεώρημα αυτό για ρητές συναρτήσεις f1, ... fr υποθέτοντας ότι είναι ισχυρά γραμμικά ανεξάρτητες (strongly linear independent) πάνω από το Fq. Η εργασία στηρίζεται στο άρθρο [1] του Cohen. Το Θεώρημα μας βρίσκει εφαρμογή σε BCH κώδικες. (EL)

text

Τύπος Εργασίας--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης

Πανεπιστήμιο Κρήτης

E-Locus Ιδρυματικό Καταθετήριο

Elocus

Ελληνική γλώσσα

2011-12-16

000370767

http://elocus.lib.uoc.gr:443/dlib/4/c/2/metadata-dlib-1324537809-408481-14293.tkl

Σχολή/Τμήμα--Σχολή Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών--Τμήμα Μαθηματικών--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης