In the present dissertation, we present the study of a family of discrete equations
using symmetry-based techniques. Such methods are well established for the study
of differential equations. We use the symmetries of discrete equations to establish
new connections between discrete and differential equations, as well as to construct
new solutions of the former in terms of similarity solutions of the latter.
Specifically, we study discrete equations which are affine linear, possess the
symmetries of the square and involve four values of an unknown function of two
independent discrete variables forming a quadrilateral. The extensive study of this
class leads to a conservation law, as well as to linearization conditions.
Members of this family are the integrable equations of the Adler, Bobenko, Suris
(ABS) classification. The integrability of the ABS equations follows from their
multidimensional consistency. The latter implies that, the equation may be extended
in a multidimensional lattice. This property allows us to derive directly an auto–
Bäcklund transformation and a Lax pair, using the function defining these equations.
These are another evidence of the integrability of the ABS equations.
The dependence of these equations on two continuous parameters permits us to
study their extended symmetries, i.e. symmetries acting on the parameters as well.
These symmetries are our main tool in connecting the ABS equations to integrable
systems of differential equations. The integrability of the latter is proved by the
construction of an auto–Bäcklund transformation and a Lax pair.
This connection provides us the means to construct solutions of the discrete
equations from solutions of the compatible differential system, which are related to
solutions of the continuous Painlevé equations.
On the other hand, we present how these systems lead naturally to generating
differential equations, which were presented by Nijhoff, Hone and Joshi starting from
another point of view. However, our construction through symmetry reductions is
more straightforward.
Thus, in the present thesis is presented a novel usage of the symmetries of discrete
equations in the construction of solutions and the connection between discrete and
differential equations.
Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται η μελέτη μιας οικογένειας εξισώσεων διαφορών (ή διακριτών εξισώσεων) χρησιμοποιώντας μεθόδους συμμετριών. Τέτοιες μέθοδοι είναι καλά θεμελιωμένες για την μελέτη και κατασκευή λύσεων διαφορικών εξισώσεων. Στόχος είναι η χρήση συμμετριών για τη σύνδεση διαφορικών και διακριτών εξισώσεων, καθώς και η κατασκευή λύσεων των τελευταίων από συμμετρικές λύσεις των πρώτων.
Συγκεκριμένα, μελετάμε διακριτές εξισώσεις που είναι αφινικά γραμμικές, έχουν τις
συμμετρίες του τετραγώνου και εμπλέκουν τέσσερεις τιμές μιας άγνωστης
συνάρτησης δύο ακέραιων μεταβλητών, οι οποίες σχηματιζούν ένα στοιχειώδες
τετράπλευρο στο επίπεδο των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η διεξοδική μελέτη αυτής
της οικογένειας οδηγεί στην κατασκευή ενός νόμου διατήρησης καθώς και σε
συνθήκες γραμμικοποιήσης.
Μέλη αυτής της οικογένειας είναι και οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις της ταξινόμησης
των Adler, Bobenko, Suris (ABS). Η ολοκληρωσιμότητα των εξισώσεων ABS
προκύπτει από την πολυδιάστατη συμβατότητά τους. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να
επεκταθούν κατάλληλα σε εξισώσεις πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ιδιότητα
αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε άμεσα έναν αυτομεταχηματισμό Bäcklund
και ένα ζευγάρι Lax χρησιμοποιώντας τις ίδιες τις εξισώσεις, στοιχεία που
αποτελούν άλλη μια ένδειξη της ολοκληρωσιμότητάς τους.
Η εξάρτηση των εξισώσεων ABS από δύο συνεχείς παραμέτρους μας επιτρέπει να
μελετήσουμε επιπλέον και τις επεκταμένες συμμετρίες τους, δηλαδή τις συμμετρίες
που δρουν και στις παραμέτρους. Αυτές οι συμμετρίες αποτελούν το βασικό
εργαλείο για τη σύνδεσή τους με ολοκληρώσιμα συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
Την ολοκληρωσιμότητα αυτών των συμβατών διαφορικών συστημάτων την
αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας έναν αυτομετασχηματισμό Bäcklund και ένα
ζευγάρι Lax.
Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε λύσεις των διακριτών
εξισώσεων από λύσεις του συμβατού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες
συνδέονται με λύσεις των συνεχών εξισώσεων Painlevé.
Από την άλλη, παρουσιάζεται η σύνδεση αυτών των συστημάτων διαφορικών
εξισώσεων με τις γεννήτριες εξισώσεις. Οι τελευταίες παρουσιάστηκαν αρχικά από
τους Nijhoff, Hone, Joshi χρησιμοποιώντας άλλη προσέγγιση. Ωστόσο, η
προσέγγιση μέσω συμμετρικών αναγωγών που παρουσιάζουμε εδώ είναι πιο
άμεση και οδηγεί στα ίδια συμπεράσματα.
Συνοψίζοντας, η παρούσα διατριβή παρουσιάζει μια καινοτομική χρήση των
συμμετριών των διακριτών εξισώσεων για την κατασκευή λύσεων, αλλά και την
σύνδεσή τους με συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
