ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΙΜΟΤΗΤΑ ΤΡΙΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ ΙΔΟ + EXP ΚΑΙ ΣΤΟ ΙΕ*2. ΕΠΙΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΕΝΑ ΓΝΩΣΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΟΥ ΒΣ1+EXP. ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΤΡΕΙΣ (ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ) ΜΟΡΦΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΟ+EXP. ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΒΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΛΕΓΟΜΕΝΟΥ "ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΤΟΥ SELBERG". ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ Α) ΤΟΝ ΝΟΜΟ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΥΠΟ ΤΟΥ SELBERG ΑΠΟ ΤΟ ΙΕ*2 ΚΑΙ Β) ΤΟ ΑΙΤΗΜΑ ΤΟΥ BERTRAND ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΟ(Π,Κ) + DEF(Π) + DEF(K), ΟΠΟΥ ΙΔΟ(Π,Κ)+DEF(Π)+DEF(K) ΤΟ ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟΥ ΙΕ*2 ΠΟΥ ΠΕΡΝΟΥΜΕ ΑΝ ΣΤΗΝ ΓΛΩΣΣΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΟΥΜΕ ΤΑ ΝΕΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ Π,Κ, ΠΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥΝ ΣΤΙΣ ΓΝΩΣΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Π(Χ) =ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΡΩΤΩΝ <=Χ, Κ(Χ) = ΣΟ<N< ΧLOGN. ΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ, ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΩΝ ΤΑΜΠΛΩ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ, ΕΝΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΟΥ ΒΣ1+EXP ΠΟΥΕΙΝΑΙ ΣΥΝΤΕΛΙΚΑ ΜΕ ΤΟ Ω, ΠΟΥ ΑΠΕΔΕΙΞΕ ΠΡΩΤΑ Η Ζ. ADAMOWICZ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ.
WE STUDY PROVABILITY OF THREE THEOREMS OF ELEMENTARY NUMBER THEORY IN ΙΔ0+EXP AND IΕ2*. WE ALSO PROVE, USING TECHNIQUES OF PROOF THEORY, A KNOWN RESULT CONCERNING END EXTENTIONS OF MODELS OF ΒΣ1+EXP. IN CHAPTER 1 WE PROVE THREE (EQUIVALENT) STATMENTS OF THE PRIME NUMBER THEOREM IN ΙΔO+EXP. THE BASIC STEP FOR THE PROOF IS A FORM OF THE SO-CALLED "SELBERG SYMMETRY FORMULA". IN CHAPTER 2 WE PROVE (A) THE QUADRATIC RECIPROCITY LAW AND THE SELBERG SYMMETRY FORMULA IN ΙΕ2*.(B) BERTRAND'S POSTULATE IN ΙΔΟ(Π,Κ)+DEF(Π)+DEF(K), WHERE ΙΔΟ(Π,Κ)+DEF(Π)+DEF(K) DENOTES THE SUBSYSTEM OF ΙΕ2* OBTAINED IF WE ALLOW ONLY TWO NEWFUNCTIONS SYMBOLS Π,K, CORRESPONDING TO THE WELL-KNOWN FUNCTIONS Π(X)=NUMBEROF PRIMES< =X,Κ(X)=ΣO,N<=X LOGN. IN CHAPTER 3 WE PROVE, USING ARITHMETIZATION OF THE TECHNIQUE OF TABLEAU PROOFS, A THEOREM CONCERNING END EXTENSIONS OF MODELS OF ΒΣ1+EXP COFINAL WITH Ω, WHICH WAS FIRST PROVED BY Z. ADAMOWICZ BY MEANS OF MODEL-THEORETIC METHODS.
