Στην παρούσα εργασία μελετάται ο προδρομικός και αναδρομικός χρόνος εμφάνισης σε μία ανανεωτική διαδικασία. Αρχικά, βρίσκεται η ανανεωτική εξίσωση που ικανοποιεί η κατανομή του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου ενώ επιπλέον υπολογίζεται η από κοινού ουρά της κατανομής των δύο αυτών μεταβλητών. Επιπροσθέτως, μελετάται η συνάρτηση συνδιακύμανσης μεταξύ του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου εμφάνισης. Μέσω της από κοινού συνάρτησης κατανομής του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου εμφάνισης, υπολογίζεται ένας κλειστός τύπος στη χρονικά εξαρτημένη περίπτωση και ένας απλός τύπος για τη σταθερή κατάσταση. Επιπλέον, υπολογίζεται η συνάρτηση συσχέτισης του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου για τη σταθερή κατάσταση. Τέλος, εξετάζεται ένα στατιστικό πρόβλημα που αφορά στην εκτίμηση της συνάρτησης κατανομής του προδρομικού χρόνου ζωής. Δοθέντος ενός τυχαίου δείγματος από ενδιάμεσους χρόνους, για τους οποίους η κοινή κατανομή F δεν είναι γνωστή, βρίσκεταιε ένας δειγματικός εκτιμητής για την εκτιμώμενη συνάρτηση. Με τη βοήθεια του θεωρήματος Glivenko - Cantelli, αποδεικνύεται ότι αυτός ο δειγματικός εκτιμητής ο οποίος κατασκευάζεται με βάση την εμπειρική συνάρτηση κατανομής, είναι συνεπής. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι ο εκτιμητής συγκλίνει ομοιόμορφα στην εκτιμώμενη συνάρτηση, αρχικά σε κάθε διάστημα της μορφής [0,b], αλλά και τελικά σε όλο το [0,^>).
To this study, we focus on the forward and backward recurrence time of a renewal process. Primarily, we find the renewal function that satisfies the density of forward and backward time and we also calculate the joint tale of the distribution of these two variables. Additionally, we study the covariance function between forward and backward recurrence time. Through the joint density function of the forward and backward recurrence time, we calculate a close type in the time depended state and a simple type for the steady state. Furthermore, we calculate the correlation function of the forward and backward recurrence time for the steady state. Finally, we examine a statistical problem which concerns the estimation of the density function for the forward recurrence time. Suppose, we have a random sample of interarrival times, that their common distribution is unknown, we find a sample estimator for the estimated function. With the assistance of the theorem Glivenko-Cantelli, we prove that this sample estimator, that is made of the empirical distribution function, it is consistent estimator. Specifically, we prove that the estimator converge uniformly to our estimated function, firstly in every interval of the type [a,b] and finally in all [0, ~).
