Στα προβλήματα ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις, οι μετατοπίσεις είναι ίδιας τάξης μεγέθους με το πάχος της δοκού. Στις περιπτώσεις αυτές, η γραμμική θεωρία δοκών δεν παράγει ακριβή αποτελέσματα καθώς δεν μπορεί να προβλέψει τις εντός επιπέδου μετατοπίσεις της δοκού. Για το λόγο αυτό, είναι αναγκαία μια γεωμετρικά μη γραμμική θεωρία μεγάλων παραμορφώσεων για την άρση των σχετικών ασυνεπειών και τη μελέτη τέτοιου είδους προβλημάτων.
Η εργασία, αυτή, μελετά γραμμικά και μη γραμμικά προβλήματα κάμψης με μεγάλες μετατοπίσεις τόσο για ελαστικές όσο και για πιεζοηλεκτρικές δοκούς. Αρχικά, παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι συνοριακές συνθήκες με εφαρμογή της «Αρχής Hamilton», με τη χρήση του λογισμού των μεταβολών. Στη συνέχεια, μελετάται η επίδραση των γεωμετρικών μη γραμμικοτήτων και γίνεται προσπάθεια αναλυτικής επίλυσης των γραμμικών και μη γραμμικών προβλημάτων στη στατική περίπτωση.
Πιο συγκεκριμένα, στο 1ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές γραμμικές θεωρίες ελαστικότητας και θεωρίες ελαστικής διάτμησης ανώτερης τάξης. Αρχικά, για τις θεωρία δοκών Euler - Bernoulli, Timoshenko και για τις θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης, παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για στατικά και δυναμικά προβλήματα κάμψης δοκών. Επίσης, επιλύεται το στατικό πρόβλημα για όλες τις θεωρίες και παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα και γραφικές παραστάσεις συγκρίνοντας με δεδομένα από τη βιβλιογραφίας.
Στο 2ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες στις μη γραμμικές θεωρίες ελαστικότητας, μια σχετική βιβλιογραφική ανασκόπηση στη μη γραμμική ελαστικότητα, οι κύριες πηγές προέλευσης της μη γραμμικότητας και ο τρόπος εμφάνισής στα διάφορα προβλήματα. Στη συνέχεια, παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για τις γεωμετρικά μη γραμμικές θεωρίες ελαστικών δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις (θεωρία Von Karman) με τη χρήση της «Αρχής Hamilton» και επιλύεται ένα σχετικό στατικό πρόβλημα κάμψης δοκού.
Στο 3ο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια εισαγωγή στο πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο και στα πιεζοηλεκτρικά υλικά. Περιγράφονται τα έξυπνα υλικά (smart materials), οι κατηγορίες υλικών που εμπίπτουν σε αυτά καθώς και οι κύριες εφαρμογές τους.
Στο 4ο κεφάλαιο γίνεται η παραγωγή των γραμμικών εξισώσεων κίνησης και συνοριακών συνθηκών με βάση την «Αρχή Hamilton» για πιεζοηλεκτρικές δοκούς σε κάμψη σε συνδυασμό με ένα σύνολο ομαδοποιημένων θεωριών διάτμησης ανώτερης τάξης. Στη συνέχεια, επιλύεται ένα σχετικό στατικό πρόβλημα πιεζοηλεκτρικής δοκού σε κάμψη και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και οι γραφικές παραστάσεις για το σύνολο των ομαδοποιημένων θεωριών διάτμησης ανώτερης τάξης για την κάμψη μιας πιεζοηλεκτρικής δοκού.
Το 5ο κεφάλαιο αναφέρεται σε μη γραμμικές θεωρίες πιεζοηλεκτρικών δοκών σε κάμψη σε συνδυασμό με ένα σύνολο ομαδοποιημένων θεωριών διάτμησης ανώτερης τάξης. Αρχικά, γίνεται η παραγωγή των μη γραμμικών εξισώσεων κίνησης και των συνοριακών συνθηκών με τη χρήση της «Αρχής Hamilton». Στη συνέχεια, επιλύεται αναλυτικά ένα σχετικό πρόβλημα μη γραμμικών πιεζοηλεκτρικών δοκών και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προκύπτουν.
Βασικές εφαρμογές στις οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι εξισώσεις και τα αποτελέσματα που εξάγαμε αποτελούν οι ακριβής μελέτες διατάξεων μάστευσης ενέργειας με βάση την ταλάντωση πιεζοηλεκτρικών δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις για μέγιστη εκμετάλλευση ενέργειας. Επίσης, γενικά, στην ιατρική τεχνολογία προβλέπεται η ακριβής μελέτη διατάξεων με εφαρμογές στην ιατρική (όπως το στεφανιαίο stent, ο βηματοδότης κ.α.) που στηρίζονται στη χρήση πιεζοηλεκτρικών δομών.
Μελλοντικά, η έρευνα μπορεί να επεκταθεί στην επίλυση δυναμικών προβλημάτων πιεζοηλεκτρικών δομών. Επίσης, στην επίλυση προβλημάτων όπου απαιτούνται διαφορετικές συνοριακές συνθήκες και σε προβλήματα συζευγμένων πεδίων όπως για παράδειγμα σε θέρμο-ελαστικά υλικά ή θέρμο-πίεζο-ελαστικά υλικά. Τέλος, θεωρείται απαραίτητη η προσπάθεια επίλυσης των μη γραμμικών θεωριών που έχουν παραχθεί τόσο για ελαστικές όσο και για πιεζοηλεκτρικές δοκούς με τη χρήση αριθμητικών μεθόδων και ιδιαίτερα της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων.
Συμπερασματικά, στην εργασία αυτή από τη μελέτη του στατικού προβλήματος μιας δοκού με ακίνητα άκρα με τη χρήση γραμμικής και μη γραμμικής θεωρίας σε ελαστικές και σε πιεζοηλεκτρικές δοκούς, διαπιστώθηκε ότι οι μετατοπίσεις που προβλέπονται από τη μη γραμμική θεωρία είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες μετατοπίσεις που προβλέπονται για τη γραμμική θεωρία. Αυτό σημαίνει ότι στη μη γραμμική θεωρία, η δοκός εμφανίζεται περισσότερο άκαμπτη.
(EL)
In problems of elastic and piezoelectric beams with large displacements, displacements are of the same order of magnitude as the beam thickness. In these cases, linear beam theory does not produce exact results as it cannot predict the in-plane beam displacements. For this reason, a geometrically non-linear theory of large deformations is necessary to remove the relevant inconsistencies and to study such problems. This paper studies nonlinear bending problems with large displacements for both elastic and piezoelectric beams. Initially, the equations of motion and boundary conditions are produced by “Hamilton’s principle”, applying the Calculus of Variations. Subsequently, the effect of geometrical nonlinearities is studied and attempts are made to analytically solve linear and non-linear problems in the static case. In particular, the first chapter presents the basic linear theories of elasticity and higher order elasticity theories. Initially, for Euler - Bernoulli, Timoshenko beams theory and for higher order shear theories, motion equations and corresponding boundary conditions are produced for both static and dynamic beam bending problems. It also solves the static problem for all theories and presents numerical results and graphs comparing with data from the literature. The second chapter presents the basic concepts of nonlinear elasticity theories, a relative bibliographic review of non-linear elasticity, the main sources of origin of nonlinearity and the way in which various problems arise. Then, the motion equations and the corresponding boundary conditions for geometrical non-linear theories of elastic beams with large displacements (Von Kármán theory) are produced using “Hamilton’s principle” and a relative static beam bending problem is solved. In Chapter 3, there is an introduction to piezoelectric effect and piezoelectric materials. Smart materials, the categories of materials that fall into them and their main applications are described. In the 4th chapter, the linear equations of motion and boundary conditions based on “Hamilton’s principle” for flexural piezoelectric beams in combination with a set of grouped upper-order shear theories are produced. Then, a relative static piezoelectric beam problem is solved and the results and graphs for all the grouped upper class shear theories for bending a piezoelectric beam are presented. The 5th chapter refers to nonlinear flexural piezoelectric beams in combination with a set of grouped upper-order shear theories. Initially, the non-linear motion equations and
v
boundary conditions are produced using “Hamilton’s principle”. Subsequently, a relative problem of non-linear piezoelectric beams is solved and the resulting results are presented. Basic applications in which the equations and results we have extracted can be used are the precise studies of energy metering devices based on the oscillation of piezo-electric beams with large displacements for maximum energy utilization. Also, in general, medical technology provides accurate study of devices with applications in medicine (such as coronary stent, pacemaker etc.) based on the use of piezoelectric structures. In the future, research can be extended to solve dynamic piezoelectric problems. Also, research can be extended in problems where different boundary conditions are required and in coupled field problems such as for example thermo-elastic materials or thermo-piezoelastic materials. Finally, it is considered necessary to solve nonlinear theories that have been produced for both elastic and piezoelectric beams using numerical methods and in particular the Finite Element Method. In conclusion, in this paper the study of the static problem of a beam with immovable ends using linear and non-linear beam theory in elastic and piezoelectric beams has found that the offsets provided by the non-linear theory are smaller than the corresponding displacements predicted for linear theory. This means that in nonlinear theory, the beam is more rigid.
(EN)
