Μελέτη στοχαστικών διαδικασιών με υπό συνθήκη στάσιμες και ανεξάρτητες προσαυξήσεις και εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά
Processes with conditionally stationary independent increments and applications in finance
Μπότση, Αουρόρα Λ.
Μαχαιράς, Νικόλαος
Στην παρούσα εργασία μελετώνται βασικές ιδιότητες και χαρακτηρισμοί των στοχαστικών διαδικασιών (σ.δ.) με υπό συνθήκη στάσιμες και ανεξάρτητες προσαυξήσεις που αποτελούν γενίκευση των σ.δ., με στάσιμες και ανεξάρτητες προσαυξήσεις, και έχουν ενδιαφέρουσες εφαρμογές στη θεωρία Κινδύνου, τη Στατιστική και τα Χρηματοοικονομικά. Αρχικά μελετάται το γνωστό αποτέλεσμα ότι, κάθε μεμειγμένη σ.δ. Poisson είναι Markov και έχει τη πολυωνυμική ιδιότητα, και τίθεται το ερώτημα πότε μία διαδικασία Markov είναι μεμειγμένη διαδικασία Poisson. Στη συνέχεια διερευνάται το πρόβλημα: «Για δοσμένη σύνθετη μεμειγμένη σ.δ. Poisson S κάτω από ένα μέτρο πιθανότητας P, να χαρακτηριστούν όλα τα προοδευτικά ισοδύναμα με το P μέτρα πιθανότητας που αφήνουν αναλλοίωτη την κατανομή της S». Το εν λόγω έχει λυθεί από τον Δ. Λυμπερόπουλο και εδώ διερευνάται μία ειδικότερη μορφή του. Τέλος, εξετάζονται ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω αποτελέσματος, η σχέση του με τις αρχές υπολογισμού ασφαλίστρου και ο ρόλος του στη χρηματοοικονομική αποτίμηση των ασφαλίσεων.
Some basic properties and some characterizations of stochastic processes with conditionally stationary and conditionally independent increments are studied. Such processes are generalization of stochastic processes with stationary and independent increments, and have interesting applications in Risk Theory, Statistics and Finance. First, the known result that, each mixed Poisson process is a Markov process and has the polynomial property, is presented. This raises the question whether a Markov process is mixed Poisson one. Then the following problem is investigated: ”For given compound mixed Poisson process S under a probability measure P, characterize all those probability measures which are progressively equivalent to the probability measure P, and under which the distribution of S remains unchanged.” This is solved by D. Lymberopoulos and here we investigate a particular case of this problem. Finally some special cases of the above result, his relationship with the premium calculation principles and its role in the pricing of insurance derivatives are examined.
