Ιστορικά σημειώματα και τεχνικές κλασικών μαθηματικών για αξιοποίηση στην τάξη

RDF 

 
This item is provided by the institution :
University of Crete
Repository :
E-Locus Institutional Repository
see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*
share



Semantic enrichment/homogenization by EKT
2015 (EN)
Historical notes and techniques of classics mathematics for utilization in the classroom
Ιστορικά σημειώματα και τεχνικές κλασικών μαθηματικών για αξιοποίηση στην τάξη

Καλαφάτης, Κωνσταντίνος

Λάμπρου, Μιχάλης
Τζανάκης, Νικόλαος
Κουρουνιώτης, Χρήστος

Όταν διδάσκει κανείς Μαθηματικά βρίσκεται πολλές φορές απέναντι στην ερώτηση από τους μαθητές του: «Πού θα μου χρειαστούν αυτά που μαθαίνω στην καθημερινή μου ζωή;». Απέναντι στο ίδιο ερώτημα βρέθηκε και ο Ευκλείδης, όπως μας αναφέρει ο Ιωάννης Στοβαίος (5ος μ.Χ. αιώνας) στην Ανθολογία του, όταν ξεκίνησε να διδάσκει σε μαθητή του τα θεωρήματα της Γεωμετρίας, «...και τώρα τι κέρδος θα έχω, αφού το έμαθα;». Όλοι όσοι έχουνε ουσιαστική σχέση με τα Μαθηματικά μπορούνε να καταλάβουνε ότι τα ερωτήματα αυτά δημιουργούνται στους μαθητές λόγω της ιδιαίτερης φύση που αυτά έχουν. Τα Μαθηματικά ουσιαστικά είναι μια θεωρητική επιστήμη η οποία όμως έχει βρει εφαρμογές σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Aν δεν υπήρχαν αυτές οι εφαρμογές ελάχιστοι άνθρωποι θα μπορούσαν να αναγνωρίσουν την αξία της Μαθηματικής επιστήμης. Από τον Ιάμβλιχο τα Μαθηματικά, τοποθετούνται ως εξής: «κάλλει τε καί τάξει και ἀκριβείᾳ προέχοντα τῶν ὀρατῶν, ἀπολειπόμενα δέ τῶν νοητῶν, συμμετρίᾳ τε ὡσαύτως καί ὁμολογίᾳ μέσῃ χρώμενα, δύναμίν τε ἒχοντα διαπορθεύειν καί διαβιβάζειν ἐπί τά ἀμέριστα εἲδη ἅτε συγγενῆ πρός αὐτά ὑπάρχοντα». Δηλαδή, «Τα Μαθηματικά υπερέχουν από τα ορατά και υστερούν από τα νοητά σε κάλος, τάξη και ακρίβεια. Βρίσκονται σε μια ενδιάμεση συμμετρία και συμφωνία, έχουν την δύναμη να μας προωθούν, στέλνοντάς μας στις ιδέες τις αδιαίρετες μια και είναι συγγενής με αυτές». Οι μαθητές όμως που πρέπει να εργάζονται με την σκέψη προς τα νοητά αναζητούν την αξία των Μαθηματικών στο ορατό και στο χειροπιαστό. Η αναζήτηση αυτής της ενδιάμεσης συμμετρίας όταν διδάσκονται θα ήταν ο τρόπος για την αποφυγή προβλημάτων που αντιμετωπίζονται στις σχολικές τάξεις. Μια τέτοια συμμετρική λογική θα διαμόρφωνε την διδακτέα ύλη στα σχολικά προγράμματα έτσι ώστε να περιέχονται σ΄αυτά οι διάφορες Μαθηματικές έννοιες ανάλογα με την ιστορική τους βαρύτητα. Από την ανακάλυψη της ασυμμετρίας μέχρι τη θεμελίωση του συνόλου των πραγματικών αριθμών υπάρχει μια καταγεγραμμένη ιστορία 2400 χιλιάδων χρόνων προβληματισμού και δημιουργικότητας. Στην δική μας σχολική πραγματικότητα ποια θέση έχουν οι έννοιες αυτές; Στο σχολικό βιβλίο της Β΄ Γυμνασίου που διδάσκονται οι άρρητοι αριθμoί και το σύνολο των πραγματικών αριθμών αφιερώνονται οι «πολλές» 2 σελίδες από το σύνολο των 254 του σχολικού εγχειρίδιου. Όπως καταλαβαίνουμε η ποσότητα της ύλης και η προσπάθεια για την ολοκλήρωσή της στον σύντομο σχολικό χρόνο δεν αφήνει περιθώρια για παραπέρα εμβάθυνση σε αυτό το τόσο σημαντικό κομμάτι της θεωρίας. Αυτή η επιλογή διαταράσσει την ενδιάμεση συμμετρία για την οποία μιλήσαμε πριν. Η αξιοποίηση της ιστορίας για την διδασκαλία των Μαθηματικών έχει τονιστεί από πολλούς ερευνητές στην Ελλάδα αλλά και διεθνώς. Η χρησιμότητά της για την νοητική εμβάθυνση κατά την διδασκαλία των Μαθηματικών εννοιών έχει φανεί όπου η διδασκαλία δεν έχει περιοριστεί μόνο στην δημιουργικότητα των τελευταίων 2 10 αιώνων. Με την εργασία αυτή δεν θα επιχειρηματολογήσω για την ανάγκη χρήσης της ιστορίας στην καθημερινή πρακτική της τάξης των Μαθηματικών, το έχουν κάνει όπως είπα πριν αρκετοί και πολύ πετυχημένα. Στην εργασία αυτή θα παρουσιαστούν σημειώματα και τεχνικές από την ιστορία, που άπτονται των σχολικών Μαθηματικών. Η παρουσίαση αυτή, όσο είναι δυνατόν, θα ακολουθήσει την χρονολογική αλληλουχία. Πιο συγκεκριμένα θα ξεκινήσουμε από την αρχαία Αίγυπτο και Μεσοποταμία. Εκεί τα Μαθηματικά (ή Μαθηματικές τέχνες κατά τον Αριστοτέλη) είναι γήινα, εκεί ξεκινά και ο όρος Γεωμετρία (Γεωμετρία = Μέτρηση της γης), εκεί εμφανίστηκαν οι πρώτες καταγεγραμμένες ανάγκες για μετρήσεις καλλιεργήσιμων εκτάσεων. Εκεί εμφανίστηκαν και οι πρώτοι «τύποι» για την μέτρηση του εμβαδού, αλλά και οι πρώτες προσεγγιστικές διαδικασίες για το εμβαδόν του τετραπλεύρου και κύκλου. Η συνέχεια θα μας φέρει στην αρχαία Ελλάδα εκεί που οι Μαθηματικές τέχνες θα μπολιαστούν με την φιλοσοφική σκέψη των αρχαίων Ελλήνων και θα τις οδηγήσουν στον χώρο των ιδεών (αξιωματική θεμελίωση). Εκεί ουσιαστικά θα δημιουργηθεί η Μαθηματική επιστήμη. Μέσα στο περιβάλλον αυτό θα παρουσιαστεί η ανακάλυψη της ασυμμετρίας, η θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου και η μέθοδος της εξάντλησης των Ευδόξου και Αρχιμήδη. Από την εποχή αυτή θα αντλήσουμε τεχνικές με τις οποίες τετραγωνίστηκαν τα πολυγωνικά χωρία αλλά και ο κύκλος. Από την περίοδο αυτή θα παρουσιαστεί και η Τριγωνομετρία η οποία αναπτύσσεται ως εργαλείο για την μελέτη της κίνησης των πλανητών και των άστρων. Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε με την Tριγωνομετρία που αναπτύσσεται από Ινδούς και Άραβες μέχρι την Ευρώπη την εποχή του Regiomontanus (15ος αιώνας). Θα δούμε πώς μεταβαίνουμε από τον υπολογισμό τόξων στις χορδές κύκλου, καθώς και στην σύγχρονη μορφή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις θα προστεθούν και άλλοι τρόποι ορισμού χωρίς την χρήση γωνιών ή τόξων κύκλου, αφού θα έχει παρουσιαστεί η σύγχρονη μορφή του απειροστικού λογισμού. Από την Ευρώπη πριν από τον απειροστικό λογισμό (17ος αιώνας) μας έρχεται η μέθοδος του Cavalieri με την οποία θα μετρηθεί το εμβαδό της κυκλοειδούς καμπύλης. Από την σύγχρονη περίοδο (19ος αιώνας) θα παρουσιάσουμε το ολοκλήρωμα του Riemann για το υπολογισμό του εμβαδού χωρίων. Εκεί θα δούμε ότι το ολοκλήρωμα αυτό αναδύεται από την αρχαία μέθοδο της εξάντλησης, χρησιμοποιώντας και σύγχρονα επιχειρήματα, όπως αυτό του ορίου. Επίσης την ίδια αυτή περίοδο έχουμε την θεμελίωση των πραγματικών αριθμών ως αντιμεταθετικό σώμα με αρχή πληρότητας. Η θεμελίωση των πραγματικών αριθμών μέσω των τομών Dedekind θα μας θυμίσει την θεωρία αναλογιών του Ευδόξου. Η εργασία ολοκληρώνεται με την διερεύνηση της έννοιας του εμβαδού στα σχολικά Μαθηματικά. Στην τελευταία αυτή ενότητα δίνεται μια πλήρη θεμελίωση της έννοιας του εμβαδού ευθύγραμμων σχημάτων με χρήση της τριγωνοποίησης. (EL)
When one teaches Maths, he frequently comes across the question asked by his pupils: “Where am I going to use the things I keep learning in my daily life?”. The same question was also put to Euclid by one of his disciples, as it is quoted by Ioannis Stovaios in his Anthology (5th century A.D.), when Euclid started teaching his disciple the theorems of Geometry with the latter expressing his agony by asking “…and now what will my benefit be, after I have learnt it?”. Those people who have a substantial relation with Maths can realize that the questions are caused to the pupils due to its special nature. In essence Maths is a theoretical science which has many applications on every human activity, though. So long as these applications were inexistent, very few people would be able to acknowledge the value of the Mathematical Science. Iamvlichos considers that “Maths excels among visible and lacks among intelligible in beauty, order and precision. It lies within an intermediate symmetry and concordance and possesses the power to forward us by sending us to the indivisible ideas, since it is akin to them”. The pupils, however, who must work with their thinking lying on the conceivable, seek after the value of Maths within the visible and the tangible. Therefore, when it is taught, the pursuit of the actual intermediate symmetry would be the means for the avoidance of the problems encountered in the school classes. Such a symmetrical logic would form the syllabus in the curricula so as for the miscellaneous mathematical concepts to be included in the latter according to their historical significance. From the discovery of asymmetry to the foundation of the total of real numbers there has been a recorded history of 2400 years of speculation and creativity. But what is the importance these concepts have in our school reality? The irrational numbers and the total of the real ones are taught in the school book of the 2nd grade of Junior High occupying only two pages from a total of 254. Therefore, it can be easily realised that the quantity of the syllabus and the effort made for its completion in a very short time does not allow for further consolidation of that particularly important piece of theory. This choice disrupts the aforementioned intermediate symmetry. The exploitation of history in Maths teaching has been emphasized by many researchers in Greece and internationally. Its usefulness for the mental deepening during the teaching of mathematical concepts has been evident exactly where teaching has not been confined only to the creativity of the last two centuries. In this dissertation I am not going to argue over the issue of the need for history use in the daily practice of Maths classes, which has already been done by a large number of very successful researchers. Instead, notes and techniques closely related to school Maths, collected from historical sources, are going to be presented in a chronological sequence, as far as this is possible. 12 More specifically this sequence will start from ancient Egypt. There, Maths, or Mathematical Arts according to Aristotle, is terrestrial. It is where the term “Geometry” – the measurement of Earth - starts off and the first recorded needs for the measurement of croplands came up. It is also there where the first formulae for the measurement of the area and the first approximative procedures for the area of the quadrilateral and the cycle came up. Next in sequence comes Greece, where the Mathematical technicals was engrafted with the philosophical thought of the ancient Greeks and was led to the sphere of concepts (axiomatic foundation). It was actually there where the Mathematical Science was created. Within this setting the discovery of asymmetry, Eudoxu’s theory of ratios and the method of exhaustion of Eudoxus and Archimedes were presented. Right from that era we are going to draw the techniques of the quadrature of the polygonal passages and the cycle, as well as Trigonometry, which was developed as a tool for the study of the movement of planets and stars. Next we are going to deal with the trigonometry which was developed by Indian, Arabian even European mathematicians covering a span until the years of Regiomontanus in the 15th century. We are also going to see the transition from the calculation of the arcs to that of the strings of the cycle along with the transition to the modern forms of trigonometric functions. With regards to the latter some other ways of their definition without the use of angles and arcs are going to be added, after the presentation of the modern form of infinitesimal calculus will have been completed. From the 17th century Europe, just before the introduction of the infinitesimal calculus, Cavalieri’s method for the calculation of the area of the cycloid curve will be presented along with Riemann’s integral for the calculation of the area dating back from the 19th century. By using modern argumentation, including that of the limit, it will eventually become evident that this particular integral emerged from the ancient method of exhaustion. Right from that period the foundation of real numbers as a commutative body with a principle of completeness came up. In addition, the foundation of real numbers through Dedekind’s cats will remind us of the theory of proportions of Eudoxus. Finally, the dissertation is completed with the exploration of the concept of the area in school Maths, where a full foundation of this particular concept with the use of triangulation is provided. (EN)

text

Area
Asymmetry
Real numbers
Εμβαδόν
Ασυμμετρία
Πραγματικοί αριθμοί

Πανεπιστήμιο Κρήτης (EL)
University of Crete (EN)

2015-07-17




*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)