Στη παρούσα εργασία δίνουμε μία ποσοτική επέκταση ενός κεντρι¬κού αποτελέσματος στην Εργοδική Θεωρία, του θεωρήματος επα¬ναφοράς του Poincare που δόθηκε από τον Michael Bosherni-tzan. Πιο συγκεκριμένα, δοθέντος ενός measure preserving sy¬stem (X, Φ,μ,ά,Τ) και υποθέτοντας ότι για κάποιο α > 0 το α-διάστατο μέτρο Hausdorff Ha είναι σ-πεπερασμένο στον X = (X, d), τότε σχεδόν για όλα τα x Ε X έχουμε
1
Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία αναφορά στο μέτρο και στη διά¬σταση Hausdorff ενός συνόλου σε ένα τυχαίο μετρικό χώρο. Στο δεύτερο κεφάλαιο παραθέτουμε κάποια βασικά στοιχεία Εργοδικής Θεωρίας καθώς και κάποιες εφαρμογές του εργοδικού θεωρήματος του Birkhoff.Στο τρίτο κεφάλαιο διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το θεώρημα Poincare δίνοντας και μία τοπολογική του προσέγγιση και έπειτα στο τέταρτο κεφάλαιο δίνουμε την απόδειξη και κάποιες εφαρμογές του παραπάνω ποσοτικού αποτελέσματος.
(EL)
In this master thesis, we present a quantitative extension of Poincare's reccurence theorem, due to Michael Boshernitzan. More precisely, given a measure preserving system (X, Φ,μ,ά,Τ) and assume that for some α > 0 the α-dimensional Hausdorff measure is σ-finite at X, then for almost x £ X,
1
In the first chapter we review some basic facts concerning Haus¬dorff measure and dimension of a set in a metric space. In the second chapter we present Birkhoff's ergodic theorem and some of its applications. In the third chapter, we formulate and prove Poincare's recurrence theorem. Finally the fourth chapter occu¬pies the proof and some applications of the above quantitative result, due to Boshernitzan.
(EN)
