Η εικασία του υπερεπιπέδου για κυρτά σώματα στον R^n

 
This item is provided by the institution :
University of Crete
Repository :
E-Locus Institutional Repository
see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*
share




1999 (EN)
Η εικασία του υπερεπιπέδου για κυρτά σώματα στον R^n

Παούρης, Γρηγόρης

Γιαννόπουλος, Α.

Το θέμα αυτής της εργασίας είναι η εικασία του υπερεπιπέδου για κυρτά σώματα στον Rn. Ένας από τους πολλούς ισοδύναμους τρόπους με τους οποίους μπορεί να διατυπωθεί είναι ο εξής: Εικασία: Υπάρχει απόλυτη σταθερά c>0 τέτοια ώστε: για κάθε κυρτό σώμα K στον Rn που έχει όγκο 1, υπάρχει (n−1)-διάστατη τομή του K που περνάει από το κέντρο βάρους του και έχει (n−1)-όγκο μεγαλύτερο από c. Το καλύτερο γνωστό αποτέλεσμα για το πρόβλημα έχει αποδειχθεί από τον J. Bourgain ([Bou1], 1990): Αν το K έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων o και όγκο 1, τότε υπάρχει (n−1)-διάστατη κεντρική τομή του K με όγκο μεγαλύτερο από c4√nlogn)-1, όπου c>0 απόλυτη σταθερά. Για την απόδειξη του θεωρήματος του Bourgain απαιτούνται πολλά από τα βασικά αποτελέσματα της ασυμπτωτικής θεωρίας χώρων πεπερασμένης διάστασης με νόρμα: 1. Η ανισότητα Brunn-Minkowski και εφαρμογές της στην μελέτη των τομών ενός κυρτού σώματος (Κεφάλαιο 1). 2. Η ανισότητα του Pisier για τη νόρμα της Rademacher προβολής. Συνέπεια: κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα έχει γραμμική εικόνα όγκου 1 με μέσο πλάτος μικρότερο από c√n log n (Κεφάλαιο 2). 3. Η ανισότητα του Sudakov για τους αριθμούς κάλυψης ενός σώματος από μπάλες δεδομένης ακτίνας, και η διάσπαση Dudley-Fernique (Κεφάλαιο 3). Κάθε κυρτό σώμα K στον Rn με κέντρο βάρους το o έχει γραμμική εικόνα TK όγκου 1 με την ιδιότητα ∫TK (x,θ)2dx=L2K για κάθε μοναδιαίο διάνυσμα θ, όπου (⋅,⋅) το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στον Rn. Η εικόνα TK είναι μονοσήμαντα ορισμένη αν εξαιρέσουμε ορθογώνιους μετασχηματισμούς, και λέγεται ισοτροπική θέση του K. Η σταθερά LK είναι μονοσήμαντα ορισμένη για την γραμμική κλάση του K, και λέγεται ισοτροπική σταθερά του K. Στο Κεφάλαιο 4 αποδεικνύουμε ότι η εικασία του υπερεπιπέδου είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη απόλυτης σταθεράς C>0 με την ιδιότητα: LK≤C για κάθε κυρτό σώμα K με κέντρο βάρους το o. Με μικρές τροποποιήσεις του επιχειρήματος του Bourgain δείχνουμε ότι LK≤c4√nlog για κάθε κυρτό σώμα K στον Rn που έχει κέντρο βάρους το o. Το αποτέλεσμα αυτό γενικεύει την εκτίμηση του Bourgain για την εικασία του υπερεπιπέδου σε μη-συμμετρικά κυρτά σώματα. Το προηγούμενο γνωστό αποτέλεσμα ήταν η ανισότητα LK≤c√n (βλέπε S. Dar, [D1], [D2]). Τέλος, αποδεικνύουμε την ισοδυναμία της εικασίας του υπερεπιπέδου με τις ασυμπτωτικές εκδοχές κλασικών προβλημάτων της Κυρτής Γεωμετρίας, όπως το πρόβλημα των Busemann και Petty, και το πρόβλημα του Sylvester. (EL)

text
Τύπος Εργασίας--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης

Πανεπιστήμιο Κρήτης (EL)
University of Crete (EN)

Greek

1999-11-01


Σχολή/Τμήμα--Σχολή Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών--Τμήμα Μαθηματικών--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης



*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)