Μελάς Δημήτριος-ΧρυσοβαλάντηςMelas Dimitrios-ChrysovalantisΤην δεκαετία του 1960, οι Atiyah και Singer έδωσαν μια τεράστια γενίκευση μιας σειράς αποτελεσμάτων που συνδέουν την Τοπολογία με την Ανάλυση. Το θεώρημα Atiyah-Singer γενικεύει ταυτόχρονα το κλασσικό θεώρημα Gauss-Bonnet, τη θεωρία Chern-Weil, καθώς και το θεώρημα Riemann-Roch. Το αποτέλεσμα είναι ένας τύπος για τον υπολογισμό του αναλυτικού δείκτη ενός ελλειπτικού (ψευδο)διαφορικού τελεστή, μέσω χαρακτηριστικών κλάσεων. Η εργασία αυτή παρουσιάζει την μεταγενέστερη απόδειξη του θεωρήματος Atiyah-Singer, χρησιμοποιώντας ομαδοειδή Lie και Κ-θεωρία. Αυτή η απόδειξη προκύπτει από την παρατήρηση ότι ο αναλυτικός δείκτης εξαρτάται μόνο από την κλάση του πρωτεύοντος συμβόλου στην Κ-θεωρία. Με έναυσμα αυτό, ο Alain Connes χρησιμοποίησε ένα ομαδοειδές παραμόρφωσης για να περιγράψει την σχέση του ελλειπτικού τελεστή με το πρωτεύον σύμβολο, μέσω της σχετικής σύντομης ακριβούς ακολουθίας C*-αλγεβρών. Η συνοριακή απεικόνιση στην Κ-θεωρία είναι η απεικόνιση αναλυτικού δείκτη. Η Claire Debord έδειξε ότι τοπολογικό μέρος του θεωρήματος Atiyah-Singer (τοπολογικός δείκτης), εκφράζεται στην Κ-θεωρία χρησιμοποιώντας και πάλι deformation groupoids σε συνδυασμό με τον ισομορφισμό Thom. Η απόδειξη της ισότητας των δύο δεικτών είναι ένα θεώρημα τύπου Poincare duality, το οποίο εκφράζεται στο πλαίσιο της ΚΚ-θεωρίας του Kasparov. Στο πλαίσιο αυτό, ο υπολογισμός του δείκτη γίνεται χρησιμοποιώντας κατάλληλους σύγκυκλους στην κυκλική συνομολογία. Μερικά αποτελέσματα έχουν δοθεί από τους Pflaum-Posthuma-Tang.In the 1960s, Atiyah and Singer gave a vast generalisation of a series of results connecting Topology with Analysis. The Atiyah-Singer theorem generalises the classical Gauss-Bonnet theorem, Chern-Weil theory and the Riemann-Roch theorem. It gives a formula for the calculation of the analytic index of an elliptic (pseudo)differential operator using characteristic classes. This dissertation presents the recent proof of the Atiyah-Singer theorem using Lie groupoids and K-theory. This proof arises from the observation that the analytic index depends only from the class of the principal symbol in K-theory. Starting from this, Alain Connes used a deformation groupoid and its associated extension of C* algebras to describe the relation of the elliptic operator with its principal symbol. The connecting map in K-theory is the analytic index. Claire Debord showed that the topological index can also be expressed in K-theory using deformation groupoids and the Thom isomorphism. The proof of the equality of the two indices is a Poincare duality type theorem, expressed through Kasparov's KK-theory. In this framework, the calculation of the index can be possible by the pairing of K-theory with cyclic cohomology. Partial results in this direction have been given by Pflaum-Posthuma-Tang.uoadl:3402301engΘετικές ΕπιστήμεςScienceIndex theorems via groupoids, KK theory and cyclic cohomologyborn_digital_postgraduate_thesisΔιπλωματική ΕργασίαPostgraduate Thesis2024ΜαθηματικάMathematicsFrascati 42Μεταπτυχιακή εργασίαMaster thesisΕθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο ΑθηνώνGreek Aggregator OpenArchives.gr | National Documentation Centre (EKT)