Το αντικείμενο της παρούσας πτυχιακής εργασίας, είναι η παρουσίαση του τρόπου κατασκευής αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, θα κατασκευάσουμε άμεσες αριθμητικές μεθόδους Runge-Kutta για την ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Για την παρουσίαση και την κατασκευή των άμεσων αριθμητικών μεθόδων Runge-Kutta, θα προβούμε στον προγραμματισμό τους σε αρχεία Matlab. Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά των αριθμητικών αυτών μεθόδων και για να οδηγηθούμε στην εξαγωγή συμπερασμάτων, θα χρησιμοποιήσουμε προβλήματα ελέγχου (test problems) στα οποία γνωρίζουμε την λύση τους.
Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται οι βασικές εισαγωγικές έννοιες για τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις καθώς και για τις αριθμητικές μεθόδους επίλυσής τους. Επίσης, στις παραγράφους του κεφαλαίου αυτού παρουσιάζετε ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα των διαφορικών εξισώσεων, το οποίο είναι το πρόβλημα αρχικών τιμών πρώτης τάξης. Αναφέρεται επίσης η μέθοδος του Euler που είναι μία από τις παλαιότερες αριθμητικές μεθόδους και είναι μία ειδική περίπτωση μεθόδου Runge-Kutta ενός σταδίου.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, μπορεί κανείς να μελετήσει τις πλέον πιο δημοφιλείς αριθμητικές μεθόδους απλού βήματος για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, δηλαδή, τις μεθόδους Runge-Kutta. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta και στις συνθήκες των μεθόδων που προέκυψαν. Πιο συγκεκριμένα, σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά πως προκύπτουν οι συνθήκες των άμεσων μεθόδων Runge-Kutta υψηλής τάξης με το ανάπτυγμα Taylor αλλά και με την θεωρία των δέντρων. ∆ίνονται επίσης κάποια παραδείγματα μεθόδων Runge-Kutta.
Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στις μεθόδους Runge-Kutta Nyström και στις συνθήκες των μεθόδων αυτών, οι οποίες υπολογίστηκαν αντίστοιχα με τις συνθήκες των μεθόδων Runge-Kutta. Ακόμα δίνονται κάποια παραδείγματα μεθόδων Runge-Kutta Nyström.
Στο τέταρτο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται μία αναφορά στα συστήματα Hamilton, αλλά και στο πρόβλημα του Kepler καθώς επίσης στην εξίσωση Schrödinger και στον αρμονικό ταλαντωτή.
Στο πέμπτο κεφάλαιο, δίνονται τα αριθμητικά αποτελέσματα και οι γραφικές παραστάσεις για τις μεθόδους απλού βήματος Runge-Kutta υψηλής τάξης και τα σχήματα από τις κυματοσυναρτήσεις για τα διάφορα επίπεδα ενέγειας.
Τέλος, υπάρχουν δυο παραρτήματα. Στο πρώτο παράρτημα παρουσιάζουμε το θεώρημα Taylor με το οποίο αναπτύξαμε πολλές συναρτήσεις στην παρούσα εργασία. Στο δεύτερο παράρτημα, παρατίθενται οι κώδικες συναρτήσεων σε Matlab.
TEI of West Macedonia
