Το αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι η παρουσίαση ορισμένων αριθμητικών μεθόδων, οι οποίες προσεγγίζουν την λύση οποιασδήποτε διαφορικής εξίσωσης ή τη λύση οποιουδήποτε συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα,
στόχος της εργασία είναι η παρουσίαση της κατασκευής των μεθόδων πολλαπλού βήματος Adams-Bashforth και Adams-Moulton και ο προγραμματισμός τους, σε αρχεία (κώδικες) συναρτήσεων, σε Matlab. Θα γίνει μελέτη και εξαγωγή συμπερασμάτων ως προς τη συμπεριφορά των αριθμητικών μεθόδων αυτών μέσα από εφαρμογές και παραδείγματα. Θα χρησιμοποιήσουμε προβλήματα ελέγχου (test problems) στα οποία γνωρίζουμε τη λύση τους και θα συγκρίνουμε τα σφάλματα που βρήκαμε κατά την αναλυτική λύση.
Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και στις αριθμητικές μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, όπου παρουσιάζεται και το πρόβλημα των αρχικών τιμών 1ης τάξης, το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε σε πολλές περιπτώσεις στην εργασία αυτή.
Στη συνέχεια, στο δεύτερο κεφάλαιο, μπορεί κανείς να μελετήσει την προαπαιτούμενη θεωρία για την κατανόηση των πολυβηματικών μεθόδων. Πιο συγκεκριμένα, σε αυτό το κεφάλαιο, αναλύεται ο διακριτός χρόνος και η θεωρία των διαφορών με έμφαση στις πεπερασμένες διαφορές τις οποίες και θα χρησιμοποιήσουμε κατά τη κατασκευή των μεθόδων πολλαπλού βήματος. Επίσης, γίνεται αναφορά στην πολυωνυμική παρεμβολή και αναλύεται το πολυώνυμο παρεμβολής Newton με διαφορές.
Το τρίτο κεφάλαιο, επικεντρώνεται στην αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μεθόδους απλού βήματος και πολυβηματικές μεθόδους. Στις μεθόδους απλού βήματος παρουσιάζεται η μέθοδος Euler, και η μέθοδος Runge-Kutta την οποία θα χρησιμοποιήσουμε για την υλοποίηση των πολυβηματικών μεθόδων. Στη συνέχεια, του κεφαλαίου αυτού, αναλύονται οι μέθοδοι πολλαπλού βήματος και οι μέθοδοι Adams, όπου είναι και το κύριο αντικείμενο της παρούσας εργασίας. Παρουσιάζεται αναλυτικά η κατασκευή των μεθόδων Adams-Bashforth και Adams-Moulton, καθώς επίσης εξηγείται, πως ο συνδυασμός των δύο παραπάνω μεθόδων μπορεί να μας δώσει μία νέα μέθοδο, τη μέθοδο πρόβλεψης-διόρθωσης (predictor-corrector), η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί και ως Adams-Bashforth-Moulton.
Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στα προβλήματα αρχικών τιμών τα οποία χρησιμοποιήθηκαν ως προβλήματα ελέγχου (test problems) για τη μελέτη των προγραμμάτων που υλοποιήθηκαν. Πιο συγκεκριμένα, τα προβλήματα που παρουσιάζονται είναι το πρόβλημα του Kepler, ο απλός και ο διπλός αρμονικός ταλαντωτής τα οποία ανήκουν στα Χαμιλτονιανά συστήματα (Hamilton systems), καθώς επίσης παρουσιάζεται και το τροχιακό πρόβλημα των Stiefel και Bettis.
Εν κατακλείδι, στο πέμπτο κεφάλαιο, δίνονται τα αριθμητικά αποτελέσματα και οι γραφικές παραστάσεις κάθε προβλήματος για τις μεθόδους που κατασκευάσαμε σε κώδικα. Επιπλέον, δίνονται τα συμπεράσματα της μελέτης που προέκυψαν από τη συγκεκριμένη εργασία.
Τέλος, υπάρχουν δύο παραρτήματα, όπου στο πρώτο παράρτημα δίνονται οι μέθοδοι απλού βήματος Runge-Kutta υψηλής τάξης που υλοποιήθηκαν και στο δεύτερο παρατίθενται οι κώδικες συναρτήσεων σε Matlab.
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα (ΤΕΙ) Δυτικής Μακεδονίας
