Τις τελευταίες δεκαετίες οι ερευνητές διαπίστωσαν ότι η ανάπτυξη της ικανότητας να δημιουργεί κανείς προβλήματα μαθηματικών είναι εκπαιδευτικά, τουλάχιστον εξίσου σημαντική, με την ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσής τους. Σε αντίθεση με το αρχικό επίκεντρο του επιστημονικού ενδιαφέροντος που βρισκόταν στην επίλυση προβλήματος το ενδιαφέρον στράφηκε στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να κατασκευάζουν προβλήματα, μια δραστηριότητα η οποία θεωρήθηκε ότι ανταποκρίνεται στη νέα φιλοσοφία των ρεαλιστικών Μαθηματικών. (realistic Mathematics). Μπορεί ακόμη να μην έχουν γίνει πολλές απόπειρες εισαγωγής της κατασκευής μαθηματικού προβλήματος στα αναλυτικά προγράμματα και τις σχολικές τάξεις είναι όμως σαφές πως μπορεί να συμβάλλει στην βελτίωση των ικανοτήτων της επίλυσης προβλήματος, να προάγει την δημιουργικότητα των μαθητών και να βοηθήσει στην ενεργή συμμετοχή μέσα στην τάξη ακόμη και των αδύναμων μαθητών.
Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία επικεντρώνεται κατά κύριο λόγο στις σύγχρονες τάσεις επίλυσης και κατασκευής - θέσης μαθηματικών προβλημάτων και αποτελείται από δυο βασικές ενότητες. Η πρώτη ενότητα αποτελεί το θεωρητικό μέρος της εργασίας και έχει ως στόχο την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων μέσα από τεκμήρια βιβλιογραφίας. Η δεύτερη ενότητα συνθέτει το ερευνητικό μέρος της εργασίας και αποσκοπεί είτε να επιβεβαιώσει είτε να αντιταχθεί στις υποθέσεις που αναπτύχθηκαν στο θεωρητικό κομμάτι της διπλωματικής.
Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο του θεωρητικού μέρους ορίζεται η έννοια της κατασκευής μαθηματικού προβλήματος (ΚΜΠ) και στη συνέχεια παρουσιάζεται η αναγνώριση της ΚΜΠ ως σημαίνων στοιχείο του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών γεγονός που την τοποθετεί στο επίκεντρο της μαθηματικής επιστήμης. Παρατίθενται οι σημαντικότερες διεθνείς ερευνητικές προσεγγίσεις πάνω στον τομέα της κατασκευής μαθηματικού προβλήματος.
Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύεται η έννοια της κατασκευής - θέσης μαθηματικών προβλημάτων, ενώ παράλληλα παρουσιάζονται και οι συνιστώσες που τη συνθέτουν. Ακολούθως, πραγματοποιείται μια παρουσίαση των διαδικασιών και πλαισίων κατασκευής, όπως και μια περιγραφή και ανάπτυξη των στρατηγικών κατασκευής μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα. Το κεφάλαιο αυτό συμπληρώνεται με την ενότητα των δραστηριοτήτων κατασκευής στην οποία αναλύονται δραστηριότητες που σχεδιάστηκαν από εκπαιδευτικούς με στόχο την εξέταση και την ανάπτυξη ικανοτήτων κατασκευής προβλημάτων και επίλυσης μεταξύ των μαθητών.
Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ένα μοντέλο κατασκευής μαθηματικού προβλήματος όπως κατασκευάστηκε από τους Christou, Mousoulides, Pittalis, Pitta-Pantazi, and Sriraman (2005). Περιγράφονται και αναλύονται οι διαδικασίες του μοντέλου: της επεξεργασίας, της επιλογής, της κατανόησης και της μετάφρασης των ποσοτικών πληροφοριών. Επίσης παρουσιάζεται μια σειρά από έργα που αναφέρονται σε κάθε διαδικασία του μοντέλου και αναφέρονται τα οφέλη που αποκομίζουν οι μαθητές και οι εκπαιδευτικοί. Στο τελευταίο κομμάτι του κεφαλαίου αναφέρεται η ΚΜΠ όπως αυτή εντοπίζεται στη λογοτεχνία επίλυσης προβλημάτων σε τεχνολογικές καταστάσεις. Παρουσιάζεται η προσπάθεια του Leung (1993) προσαρμογής των βημάτων επίλυσης του Polya (1945) σε τέσσερα βήματα κατασκευής προβλημάτων.
Το θέμα που κυριαρχεί στο τέταρτο κεφάλαιο είναι η σύνδεση επίλυσης και κατασκευής μαθηματικών προβλημάτων. Επιχειρείται να προσδιοριστεί η φύσης της σχέσης μεταξύ επίλυσης και κατασκευής αναφέροντας διάφορες μελέτες οι οποίες υπογραμμίζουν την ύπαρξή αλλά και προσδιορίζουν τις δραστηριότητες κατασκευής ως μέσο καλλιέργειας για την τόνωση δράσεων επίλυσης προβλημάτων. Στην συνέχεια του κεφαλαίου αναφέρονται οι διαδικασίες στις οποίες οι μαθητές κατευθύνονται με στόχο τη διαμόρφωση προβλημάτων κατασκευής καθώς και οι παράγοντες που επηρεάζουν την κατασκευή. Τέλος τονίζονται τα οφέλη που αποκομίζουν οι μαθητές όταν εμπλέκονται με τη ΚΜΠ.
Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται μια προσπάθεια να καθοριστεί η Μαθηματική Δημιουργικότητα, αναφέροντας τους τρόπους εκδήλωσης της, και τα χαρακτηριστικά της. Ακολούθως αναλύονται πιο διεξοδικά τα χαρακτηριστικά της Μαθηματικής Δημιουργικότητας και εξετάζεται η αλληλεπίδραση της και η συσχέτιση της με την ΚΜΠ. Τέλος, παρουσιάζεται η κατασκευή προβλήματος ως ένα αξιόπιστο εργαλείο για την αξιολόγηση της δημιουργικότητας των μαθητών.
Όσον αφορά το κομμάτι της έρευνας στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά το πειραματικό της πλαίσιο. Το δείγμα των μαθητών και φοιτητών που συμμετείχαν κλήθηκαν αρχικά να συμπληρώσουν ένα δοκίμιο έργων που αφορούσε την κατασκευή κι επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Έπειτα τους ανατέθηκε ένα ερωτηματολόγιο που αποσκοπούσε στην ανάλυση των στάσεων και πεποιθήσεων τους κυρίως σε σχέση με την επίλυση και την κατασκευή προβλήματος. Οι επιδόσεις και οι σκέψεις των μαθητών - φοιτητών μπορούν να αποτελέσουν ένα χρήσιμο εργαλείο στα χέρια του εκπαιδευτικού, έτσι ώστε να επέμβει και να βελτιώσει τις δεξιότητές τους.
Στο δεύτερο κομμάτι της έρευνας παρουσιάζονται και αναλύονται τα αποτελέσματα της έρευνας πεδίου με τη βοήθεια πινάκων, διαγραμμάτων σχετικής συχνότητας, συνεπαγωγικών διαγραμμάτων καθώς και διαγραμμάτων ομοιότητας. Το δείγμα αντιμετωπίστηκε συνολικά αλλά και μεμονωμένα ανά κατηγορία, με στόχο να πραγματοποιηθεί μια συγκριτική θεώρηση των ικανοτήτων και των πεποιθήσεων που διαθέτουν οι εκπαιδευόμενοι γύρω από την επίλυση και την κατασκευή προβλήματος.
Στο τελευταίο κομμάτι της έρευνας παρατέθηκαν τα συνολικά συμπεράσματα που εξήχθησαν από την παρούσα έρευνα και παράλληλα έγιναν κατάλληλες προτάσεις έτσι ώστε να αξιοποιηθούν τα συμπεράσματα αυτά.
Over the last decades, researchers have found that developing the ability to create math problems is, at least as important educationally, as developing the ability to solve them. Contrary to the initial focus in problem solving, scientific interest turned to developing students' ability to construct problems, an activity that was believed to respond to the new philosophy of realistic Mathematics. There may still not have been many attempts to introduce mathematical problem construction into curricula and classrooms but it is clear that it can contribute in the improvement of problem solving skills, promote student creativity, and help active classroom participation even of weak pupils.
This thesis focuses mainly on the contemporary trends of solution and construction - position of mathematical problems and consists of two basic sections. The first section is the theoretical part of the thesis and aims to draw useful conclusions from literature. The second section composes the research part of the thesis and aims either to confirm or to oppose the hypotheses developed in the theoretical part.
More specifically, in the first chapter of the theoretical part, the concept of mathematical problem construction (MPC) is defined. Afterwards MPC’s recognition as an important element of mathematical curriculum that places it at the center of mathematical science is developed. The most important international research approaches on mathematical problem construction are cited.
In the second chapter the concept of mathematical problems construction - posing is analyzed presenting in parallel its components. Subsequently, a presentation of the constructing processes and frameworks, as well as a description and development of the constructing strategies, is made through concrete examples. The chapter is completed by the module of construction activities where activities designed by teachers to examine and develop problem- constructing and problem-solving skills among students are analyzed.
In the third chapter the model of mathematical problem constructing by Christou, Mousoulides, Pittalis, Pitta-Pantazi, and Sriraman (2005) is presented. The processes of the model are described and analyzed: editing, selection, comprehension and translation of quantitative information. Moreover a series of projects refering to each model process as well as the benefits for the students and teachers are presented. The final part of the chapter refers to MPC as it is found in the problem-solving literature in technological situations. Leung (1993) attempt to adapt Polya’s solving steps (1945) in four problem-constructing steps.
The dominant theme of the fourth chapter is the link between solving and constructing mathematical problems. By citing various studies that underline the existence but also identify construction activities as a means of stimulating problem solving activities we attempt to determine the nature of the relationship between solving and constructing. Afterwards we describe the procedures in which students are directed to form construction problems as well as the factors that influence the construction. Finally, benefits that pupils gain when they are involved in MPC are emphasized.
In the fifth chapter an attempt is made to determine Mathematical Creativity, indicating its ways of expression and its characteristics. Subsequently, the features of Mathematical Creativity are analyzed in more detail and its interaction and correlation with MPC is examined. Finally, problem construction is presented as a reliable tool for evaluating students' creativity.
Concerning the research part of the thesis, in the first chapter the experimental framework was presented in detail. The sample of students and university undergraduate students who participated were originally invited to complete a project essay on the construction and solution of a mathematical problem. Afterwards they were assigned a questionnaire aimed at analyzing their attitudes and beliefs particularly regarding problem solving and constructing. Students' performance and thoughts can be a useful tool in the hands of the teacher in order to intervene and improve their skills.
In the second part of the research, field work results were presented and analyzed by means of tables, relative frequency diagrams, implicative diagrams and similarity diagrams. The sample was treated as a whole as well as individually by category, aiming at a comparative view of the student’s capacities and beliefs about problem solving and problem-constructing. In the last part the overall conclusions drawn from the present research were outlined and simultaneously appropriate proposals are made in order to take advantage of these conclusions.
Περιέχει: Πίνακες: 11, Εικόνες: 11, Σχήματα: 5
