Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών. Μαθηματική Μοντελοποίηση στις Φυσικές Επιστήμες και τις Σύγχρονες Τεχνολογίες.
(EL)
Σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι η παρουσίαση αποτελεσμάτων που αφορούν την ανάλυση της δυναμικής του συστήματος Lorenz. Θα μελετήσουμε το σύστημα, το οποίο χωρίς αμφιβολία είναι το πιο διάσημo απ' όλες τις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά. Το 1963 ο Edward Lorenz στην εργασία [3] η οποία αποτέλεσε σημείο καμπής για την μη-γραμμική επιστήμη, διατύπωσε ένα απλοποιημένο μοντέλο ατμοσφαιρικής διάδοσης θερμότητας και συνέδεσε την χαοτική κίνηση σε έναν παράξενο ελκυστή, για να διαπιστώσει την πασίγνωστη μη προβλεψιμότητα του καιρού. Πρίν το σύστημα Lorenz γίνει γνωστό, οι μόνοι τύποι ευσταθών ελκυστών ήταν τα σημεία ισορροπίας και οι κλειστές τροχιές. Ο Lorenz διαπίστωσε ότι οι λύσεις των εξισώσεων του, ποτέ δεν οδηγούσαν σε ισορροπία ή σε περιοδική κατάσταση, αλλά συνέχιζαν να ταλαντεύονται με έναν ανώμαλο μη περιοδικό τρόπο. Επιπλέον αν άρχιζε τους υπολογισμούς του από δύο κοντινές αρχικές συνθήκες, οι αντίστοιχες λύσεις θα γινόνταν σύντομα εντελώς διαφορετικές. Η επίπτωση ήταν ότι το σύστημα ήταν απρόβλεπτο, όπως απρόβλεπτες είναι και οι μετεώρολογικές προβλέψεις. Πάρολα αυτά όμως, ο Lorenz, έδειξε ότι υπήρχε δομή σ' αυτή τη χαοτική συμπεριφορά, αφού σχεδιάζοντας τις τροχιές του συστήματος σε τρείς διαστάσεις, παρατηρήθηκε ότι σχηματίζουν ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, τη γνωστή πλέον πεταλούδα. Κεντρικής σημασίας για την παρούσα διπλωματική είναι ένα γεωμετρικό μοντέλο για τον ελκυστή Lorenz, το οποίο πρότειναν για πρώτη φορά οι Guckenheimer και Williams, μία πραγματικά ένδιαφέρουσα γεωμετρική κατασκευή που μπορεί να αναλυθεί πλήρως χρησιμοποιώντας εργαλεία από τα διακριτά δυναμικά συστήματα.
