Στο πρώτο κεφάλαιο θα αναλύσουμε τους τοπολογικούς χώρους και τις πολλαπλές έννοιές τους. Πιο συγκεκριμένα, στην πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου θα εξετάσουμε τα ανοικτά και κλειστά σύνολα, τις βάσεις και επίσης διάφορες τοπολογικές έννοιες όπως το σύστημα περιοχών ή τις βάσεις περιοχών και επομένως το επίκεντρο της προσοχής μας θα είναι στην συμπεριφορά της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου.
Στο δεύτερο κεφάλαιο θα εξετάσουμε την ιεραρχία των διαχωριστικών αξιωμάτων των τοπολογικων χώρων. Πρόκειται για τα διαχωριστικά αξιώματα (αύξουσας σειράς) από το T1 στο T4. Επίσης θα εξετάσουμε τον διαχωρισμό ζεύγους σημείων ή κλειστών συνόλων, από ξένα ανοικτά σύνολα. Έπειτα,
Η έννοια της συμπάγειας στους τοπολογικούς χώρους αποτελεί την φυσιολογική επέκταση της έννοιας τη συμπάγειας στους μετρικούς χώρους και είναι η πιο σημαντική τοπολογική έννοια μαζι με την έννοια κατηγορίας κατά Baire. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τις στοιχειώδεις ιδίοτητες των συμπαγών χώρων και διάφορες έννοιες, όππως τοπική συμπάγεια. Ξεκινάμε ορίζοντας τους συμμπαγείς χώρους και εξετάζοντας τις βασικές ιδιότητές τους. Τέλος, στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο θα
δώσουμε ένα κατά βάση αυτόνομο τοπολογικό υπόβαθρο για τη μελέτη των παραστάσεων τοπικά συμπαγών ολικά μη συνεκτικών ομάδων.
Πανεπιστήμιο Αιγαίου
