Οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένας μονοδιάστατος πραγματικός χώρος, με πολλαπλασιασμό δηλαδή μια άλγεβρα, που δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. Το επόμενο βήμα ήταν η κατασκευή των μιγαδικών αριθμών από τον Gauss. Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια πραγματική άλγεβρα διάστασης δυο με πολλαπλασισμό χωρίς διαιρέτες του μηδενός. Για πολλά χρόνια μαθηματικοί προσπάθησαν να ορίσουν έναν πολλαπλσιασμό, χωρίς διαιρέτες του μηδενός, στις τρείς διαστάσεις. Ο Hamilton διαπίστωσε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν και κατάφερε να ορίσει έναν πολλαπλασιασμό στις τέσσερις διαστάσεις, χωρίς διαιρέτες του μηδενός, ο οποίος όμως δεν ήταν μεταθετικός, τα τετρακτόνια.
Το επόμενο βήμα ήταν να χαρακτηριστούν οι πολλαπλασιασμοί στις n-διαστάσεις, χωρίς διαιρέτες του μηδενός. Έπείτα ο Graves ο οποίος εμπνεύστηκε απο τον Hamilton, προσπάθησε να ανακαλύψει παρόμοια άλγεβρα μεγαλύτερης διάστασης απο αυτή των τετρακτονίων στις τεσσερις δηλαδή διαστάσεις. Το τελικό αποτέλεσμα ήταν ότι τέτοιος πολλαπλασισμός υπάρχει μόνο στις οκτώ διαστάσεις (οι αριθμοί Cayley ή οκτόνια). Δυστυχώς ο πολλαπλασιασμός στους αριθμούς Cayley δεν είναι προσεταιριστικός. Η κατασκευή των αριθμών Cayley αποδεικνύει ότι η κατασκευή αυτή δεν μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω. Έτσι οι μόνες πραγματικές άλγεβρες, πεπερασμένης διάστασης χωρίς διαιρέτες του μηδενός είναι οι πραγματικοί, οι μιγαδικοί, τα τετρακτόνια, και τα οκτόνια. Σ' αυτήν την εργασία θα δώσουμε την απόδειξη αυτου του αποτελέσματος και θα παρουσιάσουμε κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες των τετρακτονίων και των οκτονίων.
University of the Aegena
