Η συγκέντρωση του μέτρου είναι ένα κεντρικό φαινόμενο στον τομέα της ασυμπτωτικής γεωμετρικής ανάλυσης.Θα εργαζόμαστε σε έναν μετρικό χώρο, με μέτρο πιθανότητας στα σύνολα Borel.΄Ατυπα λέμε ότι παρουσιάζεται φαινόμενο συγκέντρωσης αν, δοθέντος συνόλου σταθερού μέτρου 1/2, η t-επέκταση του, για πολύ μικρές τιμές του t εμφανίζει μέτρο «πολύ κοντά στο 1».
Θα μελετήσουμε το φαινόμενο σε τρεις n-διάστατους χώρους. Στην σφαίρα, στον χώρο του Gauss και στον διακριτό κύβο. Βασικό εργαλείο για την απόδειξη του φαινομένου είναι η ισοπεριμετρική ανισότητα η όποια θα οδηγεί στην λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος στον εκάστοτε χώρο.
Ο μύθος της Διδούς
Η Διδώ ήταν πριγκίπισσα της Τύρου. ΄Οταν πέθανε ο πατέρας της κληρονόμησε τον θρόνο της μαζί με τον σύζυγό της. ΄Ομως, ο αδελφός της ο Πυγμαλίων, τον δολοφόνησε και κατέλαβε την εξουσία. ΄Ετσι η Διδώ, αναγκάστηκε να εγκαταλείψει τη χώρα της μαζί με μερικούς πιστούς υπηρέτες της. Πέρασαν αρκετές μέρες και έφτασαν στη Β.Αφρική, κοντά στην Τύνιδα. Το μέρος αυτό, άρεσε πολύ στη Διδώ και ζήτησε από τον βασιλιά της περιοχής Ιάρβα, να της επιτρέψει να χτίσει στην ακτή μία πόλη. Ο Ιάρβας αρνήθηκε. ΄Οταν, όμως, η Διδώ του προσέφερε πλούσια δώρα δέχθηκε, υπό τον όρο η πόλη να καταλαμβάνει τόση έκταση, όση ένα τομάρι βοδιού. Η πανέξυπνη Διδώ, τότε, έκοψε το τομάρι σε πολύ στενές λωρίδες και, ενώνοντας τη μία με την άλλη, περικύκλωσε τόσο χώρο, ώστε τής έφθασε να κτίσει την Καρχηδόνα και την ακρόπολή της, τη Βύρσα (βύρσος = δέρμα, τομάρι). Ζήτησε φαινομενικά μία μικρή έκταση και απέκτησε μία τεράστια! Στη συνέχεια έγινε βασίλισσα της Καρχηδόνας, όπου κατέφυγε μετά την καταστροφή της Τροίας ο Αινείας οι περιπέτειες του οποίου περιγράφονται στην «ΑΙΝΕΙΑΔΑ». Από τον μύθο της Διδούς ανακύπτει το εξής γεωμετρικό πρόβλημα, γνωστό και ως Πρόβλημα της Διδούς ή ισοπεριμετρικό πρόβλημα: Πως έπρεπε να τοποθετήσει πάνω στη γη η Διδώ το δερμάτινο σκοινί ώστε να περικλείει την μεγαλύτερη δυνατή έκταση; Από την διατύπωση που υπάρχει στην «ΑΙΝΕΙΑΔΑ» φαίνεται πως η Διδώ έλυσε σωστά το πρόβλημα καθώς ο Βιργίλιος χρησιμοποιεί τη λέξη circumdare που σημαίνει κυκλώνω.
Πανεπιστήμιο Αιγαίου
