Stress concentration factors: determination of ranges of values by the method of quantifier elimination
Συντελεστές συγκεντρώσεως τάσεων: προσδιορισμός πεδίων τιμών με τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών
Ioakimidis, Nikolaos
Ιωακειμίδης, Νικόλαος
The interesting and modern method of quantifier elimination in computer algebra was already applied to a very large number of problems including, e.g., ranges of functions and several applied mechanics problems. Here this method is applied to the determination of ranges of stress concentration factors. The classical related handbook is Peterson's Stress Concentration Factors. Here three classical elasticity problems with stress concentration factors included in this handbook are studied in detail with respect to their ranges of values. These problems concern (i) a tension strip with two opposite semi-circular edge notches, (ii) a tension strip with a circular hole and (iii) an infinite medium with a rectangular hole with rounded corners. In these problems, the ranges of the approximate stress concentration factors on physically appropriate intervals for their variables are determined. Beyond the very simple case of stress concentration factors with no parameters (only their variables), the more interesting cases (i) of stress concentration factors with parameters (here dimensionless length parameters) and (ii) of parametric intervals, i.e. intervals with symbols as their endpoints, are also studied. In all cases, the efficient implementation of quantifier elimination in the popular computer algebra system Mathematica was used for the derivation of the ranges of the corresponding stress concentration factors frequently in parametric forms. Naturally, such a range can directly provide the related numerical range for specific value(s) of the parameter(s) involved. Extensions of the approach, e.g. to stress intensity factors in crack problems, are also possible.
Η ενδιαφέρουσα και σύγχρονη μέθοδος της απαλοιφής ποσοδεικτών στην υπολογιστική άλγεβρα εφαρμόσθηκε ήδη σε έναν πολύ μεγάλο αριθμό προβλημάτων που περιλαμβάνουν, π.χ., πεδία τιμών (ή σύνολα τιμών) συναρτήσεων και αρκετά προβλήματα της εφαρμοσμένης μηχανικής. Εδώ η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται στον προσδιορισμό πεδίων τιμών συντελεστών συγκεντρώσεως τάσεων. Το κλασικό σχετικό εγχειρίδιο είναι το εγχειρίδιο Peterson's Stress Concentration Factors. Εδώ μελετώνται λεπτομερώς τρία κλασικά προβλήματα της ελαστικότητας με συντελεστές συγκεντρώσεως τάσεων που περιλαμβάνονται σ' αυτό το εγχειρίδιο σχετικά με τα πεδία τιμών τους. Τα προβλήματα αυτά αφορούν (i) σε λωρίδα με δύο αντίθετες ημικυκλικές πλευρικές εγκοπές σε εφελκυσμό, (ii) σε λωρίδα με κυκλική οπή σε εφελκυσμό και (iii) σε άπειρο μέσον με ορθογωνική οπή με στρογγυλευμένες γωνίες. Στα προβλήματα αυτά προσδιορίζονται τα πεδία τιμών των προσεγγιστικών συντελεστών συγκεντρώσεως τάσεων σε κατάλληλα από φυσική άποψη διαστήματα για τις μεταβλητές τους. Πέρα από την πολύ απλή περίπτωση συντελεστών συγκεντρώσεως τάσεων χωρίς καθόλου παραμέτρους (μόνο με τις μεταβλητές τους) μελετώνται επίσης και οι πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις (i) συντελεστών συγκεντρώσεως τάσεων με παραμέτρους (εδώ αδιάστατες παραμέτρους μήκους) και (ii) παραμετρικών διαστημάτων, δηλαδή διαστημάτων με σύμβολα σαν άκρα τους. Σε όλες τις περιπτώσεις χρησιμοποιήθηκε η αποτελεσματική υλοποίηση της απαλοιφής ποσοδεικτών στο δημοφιλές σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica για την εύρεση των πεδίων τιμών των αντίστοιχων συντελεστών συγκεντρώσεως τάσεων συχνά σε παραμετρικές μορφές. Φυσικά, ένα τέτοιο πεδίο τιμών μπορεί άμεσα να δώσει το σχετικό αριθμητικό πεδίο τιμών για συγκεκριμένη τιμή/συγκεκριμένες τιμές της εμπλεκόμενης παραμέτρου/των εμπλεκόμενων παραμέτρων. Είναι επίσης δυνατές επεκτάσεις της μεθόδου, π.χ. σε συντελεστές εντάσεως τάσεων σε προβλήματα ρωγμών.
