Low-Density Parity-Check (LDPC) codes belong to the category of Linear Block Codes. They are error detection and correction codes. Although LDPC codes have been proposed by R. Gallager since 1962, they were scarcely considered in the 35 years that followed. Only in the end-90's they were rediscovered due to their decoding performance that approaches Shannon limit. As their name indicates they are parity check codes whose parity check matrix is sparse. Since the encoding process is simple, the decoding procedure determines the performance and the consumed power of the decoder. For this reason several iterative decoding algorithms have been developed. However theoretical determination of their performance has not yet been feasible.
This work presents the most important iterative decoding algorithms for LDPC codes, that have been developed to date. These algorithms are implemented in matlab and their performance is studied through simulation. The most powerful among them, namely Log Sum-Product, uses a very nonlinear function called Φ(x). Hardware implementation of this function enforces finite accuracy, due to finite word length representation. The roundoff error that this procedure imposes, impacts the decoding performance by means of two mechanisms. Both mechanisms are analyzed and a theoretical expression for each mechanism activation probability, at the end of the first iteration of the algorithm, is developed.
The impact of the roundoff error on the decisions taken by the log Sum-Product decoding algorithm at the end of each iteration is also studied. The mechanism by means of which roundoff alters the decisions of a finite word length implementation of the algorithm compared to the infinite precision case, is analyzed and a corresponding theoretical model is developed. The proposed model computes the probability of changing decisions due to finite word length representation of Φ(x), but it is not yet complete, since the determination of the corresponding parameters is achieved through experimental results. Further research focuses on the completion of the theoretical model, since it can lead to a tool that computes the expected degradation of the decoding performance for a particular implementation of the decoder, without the need of time-consuming simulations.
Οι κώδικες LDPC ανήκουν στην κατηγορία των block κωδικών. Πρόκειται για κώδικες ελέγχου σφαλμάτων μετάδοσης και πιο συγκεκριμένα για κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων. Αν και η εφεύρεσή τους (από τον Gallager) τοποθετείται χρονικά στις αρχές της δεκαετίας του 60, μόλις τα τελευταία χρόνια κατάφεραν να κεντρίσουν το έντονο ενδιαφέρον της επιστημονικής-ερευνητικής κοινότητας για τις αξιόλογες επιδόσεις τους. Πρόκειται για κώδικες ελέγχου ισοτιμίας με κυριότερο χαρακτηριστικό τον χαμηλής πυκνότητας πίνακα ελέγχου ισοτιμίας (Low Density Parity Check) από τον οποίο και πήραν το όνομά τους. Δεδομένου ότι η κωδικοποίηση των συγκεκριμένων κωδικών είναι σχετικά απλή, η αποκωδικοποίηση τους είναι εκείνη η οποία καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τα χαρακτηριστικά του κώδικα που μας ενδιαφέρουν, όπως είναι η ικανότητα διόρθωσης σφαλμάτων μετάδοσης (επίδοση) και η καταναλισκόμενη ισχύς. Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί διάφοροι αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης, οι οποίοι είναι επαναληπτικοί. Παρόλο που οι ανεπτυγμένοι αλγόριθμοι και οι διάφορες εκδοχές τους δεν είναι λίγοι, δεν έχει ακόμα καταστεί εφικτό να αναλυθεί θεωρητικά η επίδοσή τους.
Στην παρούσα εργασία παρατίθενται οι κυριότεροι αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης κωδικών LDPC, που έχουν αναπτυχθεί μέχρι σήμερα. Οι αλγόριθμοι αυτοί υλοποιούνται και συγκρίνονται βάσει των αποτελεσμάτων εξομοιώσεων. Ο πιο αποδοτικός από αυτούς είναι ο αποκαλούμενος αλγόριθμος log Sum-Product και στηρίζει σε μεγάλο βαθμό την επίδοσή του σε μία αρκετά πολύπλοκή συνάρτηση, την Φ(x). Η υλοποίηση της τελευταίας σε υλικό επιβάλλει την πεπερασμένη ακρίβεια αναπαράστασής της, δηλαδή τον κβαντισμό της. Το σφάλμα κβαντισμού που εισάγεται από την διαδικασία αυτή θέτει ένα όριο στην επίδοση του αλγορίθμου. Η μελέτη που έγινε στα πλαίσια της εργασίας οδήγησε στον προσδιορισμό δύο μηχανισμών εισαγωγής σφάλματος κβαντισμού στον αλγόριθμο log Sum-Product και στη θεωρητική έκφραση της πιθανότητας εμφάνισης κάθε μηχανισμού κατά την πρώτη επανάληψη του αλγορίθμου.
Μελετήθηκε επίσης ο τρόπος με τον οποίο το εισαγόμενο σφάλμα κβαντισμού επιδρά στην απόφαση του αλγορίθμου στο τέλος της κάθε επανάληψης και αναπτύχθηκε ένα θεωρητικό μοντέλο αυτού του μηχανισμού. Το θεωρητικό μοντέλο δίνει την πιθανότητα αλλαγής απόφασης του αλγορίθμου λόγω του σφάλματος κβαντισμού της συνάρτησης Φ(x), χωρίς όμως να είναι ακόμα πλήρες αφού βασίζεται και σε πειραματικά δεδομένα. Η ολοκλήρωση του μοντέλου, ώστε να είναι πλήρως θεωρητικό, θα μπορούσε να αποτελέσει αντικείμενο μελλοντικής έρευνας, καθώς θα επιτρέψει τον προσδιορισμό του περιορισμού της επίδοσης του αλγορίθμου για συγκεκριμένο σχήμα κβαντισμού της συνάρτησης, αποφεύγοντας χρονοβόρες εξομοιώσεις.
