Σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας όχι υποχρεωτικά τετραγωνικών και πολυωνυμικών πινάκων/ Birkhoff-James approximate orthogonality sets of rectangular and polynomial matrices

Σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας όχι υποχρεωτικά τετραγωνικών και πολυωνυμικών πινάκων/ Birkhoff-James approximate orthogonality sets of rectangular and polynomial matrices (EL)

Κυριάκου, Βασιλική

Kyriakou, Vasiliki

Ψαρράκος, Παναγιώτης

Κανελλόπουλος, Βασίλειος

Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος

ntua (EL)

bachelorThesis

2021-10-08T16:08:42Z

2021-07-07

Η εργασία πραγματεύεται τα σύνολα Birkhoff-James προσεγγιστικής ορθογωνιότητας πινάκων που δεν είναι υποχρεωτικά τετραγωνικοί, αλλά και των πολυωνυμικών. Με την εκπόνησή της επιχειρούμε να μελετήσουμε τις βασικές ιδιότητες των συνόλων αυτών και τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται με τα αριθμητικά πεδία πινάκων. Ξεκινώντας τη μελέτη μας, παραθέτουμε στο πρώτο κεφάλαιο, που αποτελεί και το εισαγωγικό, όλες τις έννοιες και τους ορισμούς που είναι απαραίτητοι για την πλήρη κατανόηση του περιεχομένου του πονήματος. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μελετούμε το κλασικό αριθμητικό πεδίο των τετραγωνικών πινάκων. Το αριθμητικό πεδίο αυτό έχει πολλές ιδιότητες, οι οποίες θα αποβούν ιδιαίτερα χρήσιμες στην πορεία της εργασίας, με κυριότερες αυτές της κυρτότητας και της συμπάγειάς του. Στη συνέχεια, αναπαριστούμε το αριθμητικό πεδίο ενός τετραγωνικού πίνακα με τη μορφή υπεραριθμήσιμης τομής κλειστών κυκλικών δίσκων. Η μορφή αυτή που κατασκευάσαμε, μας οδηγεί σε μία νέα έκφραση του αριθμητικού πεδίου τετραγωνικών πινάκων, η οποία βασίζεται στην αποκλειστική χρήση της νόρμας. Στηριζόμενοι στον νέο ορισμό του πεδίου των τετραγωνικών πινάκων που προέκυψε, καταφέρνουμε επεκτείνοντάς τον, να ορίσουμε στο τρίτο κεφάλαιο το αριθμητικό πεδίο πινάκων που δεν είναι κατ’ ανάγκη τετραγωνικοί. Επιπλέον, στο τρίτο κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια της Birkhoff-James ορθογωνιότητας και παρουσιάζουμε το αριθμητικό πεδίο πινάκων που δεν είναι κατ’ ανάγκη τετραγωνικοί, με τη μορφή συνόλου Birkhoff-James ορθογωνιότητας. Συνεχίζοντας, προχωράμε σε επεξήγηση και αιτιολόγηση της χρήσης του γενικού πίνακα Β∈C^(n×m), στον ορισμό του αριθμητικού πεδίου όχι υποχρεωτικά τετραγωνικών πινάκων και διερευνούμε τις σημαντικότερες από τις ιδιότητες του. Οδεύοντας προς το τέλος του τρίτου κεφαλαίου, μελετάμε το αριθμητικό πεδίο μιας γραμμικής δέσμης πινάκων, καθώς και τις χαρακτηριστικές τιμές των πινάκων που δεν είναι υποχρεωτικά τετραγωνικοί. Στο τέταρτο κεφάλαιο, εφιστούμε το ενδιαφέρον στο να ορίσουμε τις έννοιες της Birkhoff-James προσεγγιστικής ορθογωνιότητας και του συνόλου Birkhoff-James ϵ-ορθογωνιότητας. Μελετάμε εκτενώς τις ιδιότητες του συνόλου ϵ-ορθογωνιότητας, αλλά και το συνόρου του και αποδεικνύουμε τη συνέχειά του ως προς έναν πίνακα A∈C^(n×m) και προς μία παράμετρο ϵ. Αναλύουμε επίσης τι συμβαίνει με τη συνέχεια του συνόλου αυτού ως προς έναν πίνακα Β∈C^(n×m). Στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας, παρουσιάζουμε τους πολυωνυμικούς πίνακες και ορίζουμε το κλασικό αριθμητικό τους πεδίο, αλλά και το αριθμητικό πεδίο ενός πολυωνυμικού πίνακα ως προς έναν όχι υποχρεωτικά τετραγωνικό. Συνεχίζοντας, προσδιορίζουμε το σύνολο Birkhoff–James ϵ –ορθογωνιότητας ενός πολυωνυμικού πίνακα ως προς έναν όχι υποχρεωτικά τετραγωνικό. Τέλος, αναλύουμε τις βασικότερες ιδιότητες του συνόλου που κατασκευάσαμε. (EL)

αριθμητικό πεδίο, σύνολο, Birkhoff-James, προσεγγιστική ορθογωνιότητα, γραμμική δέσμη, σύνορο (EL)

Ελληνική γλώσσα

Τομέας Μαθηματικών (EL)

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών (EL)

Default License

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Ψηφιακό Αποθετήριο της Κεντρικής Βιβλιοθήκης του ΕΜΠ | Dspace@NTUA

Κεντρική Βιβλιοθήκη Ε.Μ.Π.

Ιδρυματικό Αποθετήριο

Δημοσιεύσεις φοιτητών