ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΙ Η ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΗΜΙΠΡΩΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΩΝ BANACH. ΑΚΡΙΒΕΣΤΕΡΑ ΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΚΥΡΙΩΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΙΔΕΩΔΩΝ, ΤΟΥ SOCLE, ΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ (MODULAR) ΙΔΕΩΔΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΗΜΙΠΡΩΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΩΝ BANACH. Η ΕΝ ΛΟΓΩ ΜΕΛΕΤΗ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ, ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΔΡΟΥΝ ΣΥΜΠΑΓΩΣ.ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΣΤΕΡΑ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΜΙΑ ΗΜΙΠΡΩΤΗ ΑΛΓΕΒΡΑ BANACH Α ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΤΑΥΤΟΔΥΝΑΜΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Ε (ΑΡΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΙΔΕΩΔΗ), ΤΟΤΕ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΤΟΤΕ, ΟΤΑΝ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ S ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΔΡΑ ΣΥΜΠΑΓΩΣ ΚΑΙ ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΟ RAD(A). ΤΟ SOC(A) ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣΑ, ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΔΡΟΥΝ ΣΥΜΠΑΓΩΣ ΚΑΙ ΔΕΝ ΑΝΗΚΟΥΝ ΣΤΟ RAD(A). ΕΠΙΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΕΝΑΣ ΧΩΡΟΣ BANACH E ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΙΣΤΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Π:Α -> ΒΗ(Ε) ΕΤΣΙ ΩΣΤΕ Π(S) ΕΙΝΑΙ ΤΑΞΕΩΣ ΕΝΑ, ΤΟΤΕ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΤΟΤΕ, ΟΤΑΝ ΤΟ S ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟ, ΔΡΑ ΣΥΜΠΑΓΩΣ ΚΑΙ S E RAD(A). ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΕΩΣ ΜΙΑΣ ΗΜΙΠΡΩΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ BANACH A ΚΑΙ ΕΥΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ. ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΙΔΕΩΔΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ MODULAR ΙΔΕΩΔΩΝ ΜΙΑΣ MODULAR ANNIHILATOR ΑΛΓΕΒΡΑΣ BANACH. ΤΕΛΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΝΤΑΙ ΟΙ SKEL1 ΚΑΙ SKEL2 ΤΗΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΣΦΑΙΡΑΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗΣ C*-ΑΛΓΕΒΡΑΣ (ΜΕ ΜΟΝΑΔΑ) ΚΑΙ ΕΞΕΤΑΖΕΤΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΩΝ ΣΚΕΛΕΤΩΝ ΑΥΤΩΝ ΜΕ ΤΑ ΑΠΛΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ.
THE MAIN OBJECTIVE OF THIS THESIS IS THE STUDY OF THE SEMIPRIME BANACH ALGEBRAS. MORE SPECIFICALLY THERE ARE EXAMINED PROPERTIES OF THE MINIMAL IDEALS OF SOCLE, OF THE MAXIMAL (MODULAR) IDEALS AND REPRESENTATIONS OF SEMIPRIME BANACH ALGEBRAS. THIS STUDY IS APPROACHED VIA SINGLE ELEMENTS WHICH ACT COMPACTLY. IT HAS BEEN PROVEN THAT A SEMIPRIME BANACH ALGEBRA A CONTAINS A MINIMAL IDEMPOTENT ELEMENT E (SEE MINIMAL IDEALS), IF AND ONLY IF, IT CONTAINS A SIMPLE ELEMENTS S THAT ACTS COMPACTLY AND IT DOESN'T BELONG TO RAD(A). SOC(A) IS THE SET OFTHE FINITE SUMS CONSISTED OF SINGLE ELEMENTS OF A THAT ACT COMPACTLY AND THEYDO NOT BELONG TO RAD(A). IT HAS ALSO BEEN SHOWN THAT FOR THE A THERE ARE: A BANACH SPACE E AND A CONTINUOUS EXACT REPRESENTATION Π:A -> BH(E) SUCH THAT Π(S) IS OF ORDER ONE, IF AND ONLY IF, S IS SIMPLE, ACTS COMPACTLY AND S E RAD(A).NEXT FOLLOWS A STUDY OF PROPERTIES OF THE ELEMENTS OF FINITE ORDER OF A SEMIPRIME BANACH ALGEBRAS A AND CERTAIN CONDITIONS ARE DETERMINED SUCH THAT THE ALGEBRA TO BE OF FINITE DIMENSION. BY USING THE SIMPLE ELEMENTS VARIOUS PROPERTIES OF FINITE IDEALS ARE STUDIED AS WELL AS THOSE OF MAXIMAL MODULAR IDEALS OF A MODULAR ANNIHILATOR BANACH ALGEBRA. FINALLY THEY ARE CHARACTERIZED THE SKEL1AND SKEL2 OF THE UNITY CLOSED SPHERE OF A COMMUTATIVE C*-ALGEBRAS (WITH UNITY) AND THE RELATIONSHIP OF THESE SKEL'S WITH THE SIMPLE ELEMENTS OF THE ALGEBRAARE EXAMINED.
