PRIME NUMBERS AND CYCLOTOMY-PRIMES OF THE FORM X + (X+1)

 
This item is provided by the institution :

Repository :
National Archive of PhD Theses
see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*
share



PhD thesis (EN)

1986 (EN)
ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΤΟΜΙΑ-ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ + (Χ+1)
PRIME NUMBERS AND CYCLOTOMY-PRIMES OF THE FORM X + (X+1)

ΤΣΑΓΚΑΡΗΣ, ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Η ΠΑΡΟΥΣΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ, ΜΕ ΤΟΥΣ ΕΞΗΣ ΤΙΤΛΟΥΣ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΤΟΜΙΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΝΤΑΙ ΝΕΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΝΕΟΙ ΤΥΠΟΙ (ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΑΙ ΕΚΠΕΦΡΑΣΜΕΝΟΙ) ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΕΚΤΕΙΝΟΝΤΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΧΙΚΩΝ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ, ΟΠΟΤΕ ΕΠΙΤΥΓΧΑΝΕΤΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΣΥΝΑΦΕΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΚΥΚΛΟΤΟΜΙΑΣ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΠΡΩΤΟΙ, ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2. ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΚΕΙΜΕΝΟΥ, ΒΑΣΙΚΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΕΞΗΣ ΚΛΑΣΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ SIERPINSKI: Ο ΑΡΙΘΜΟΣΧ2+(Χ+1)2 ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΤΕ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΤΟΤΕ ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υ, ΖΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ: (*) Τ(Χ)=Τ(Υ)+Τ(Ζ). (ΕΔΩ, ΤΑ Τ(Χ), Τ(Υ), Τ(Ζ) ΣΥΜΒΟΛΙΖΟΥΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ). Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2 ΑΝΑΓΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΥΠΟΥ FERMAT:(Fk) X2-2Y2=2K2-1, K=0,1,1,... . ΠΙΟ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ, ΗΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ (*) ΑΝΑΓΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (FK) ΜΕΣΩ ΚΑΤΑΛΛΗΛΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ GAUSS. ΩΣ ΗΜΙΤΕΛΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ (ΘΕΩΡΗΜΑ 3.4.15) ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3, ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ Η ΠΛΗΡΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2 ΜΕΣΩ ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΝΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ. Η ΑΝΑΓΩΓΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2 ΟΔΗΓΕΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΜΟΡΦΗΣ, ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΟΣΚΙΝΟΥ (ΤΕΛΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 3.4.16).
THE PRESENT DOCTORAL THESIS CONSISTS OF THREE CHAPTERS, NAMELY: CHAPTER 1: CRITERIA AND FORMULAE FOR PRIME NUMBERS. CHAPTER 2: PRIMES AND CYCLOTOMY. CHAPTER3: PRIME AND COMPOSITE NUMBERS OF THE FORM X2+(X+1)2. IN CHAPTER 1 NEW PRIMALITY CRITERIA ARE OBTAINED, ALONG WITH NEW FORMULAE FOR THE SEQUENCE OF PRIMES (RECURSIVE AND EXPLICIT). SUCH FORMULAE ARE EXTENDED IN CHAPTER 2 BY MEANS OF CYCLOTOMIC CONCEPTS AND COSINE FUNCTIONS. IN CHAPTER 3 THE PRIME AND COMPOSITENUMBERS OF THE FORM X2+(X+1)2 ARE EXAMINED. THEIR STUDY DEPENDS HEAVILY ON THE FOLLOWING THEOREM(SIERPINSKI): THE NUMBER X2+(X+1)2 IS COMPOSITE IF THERE EXIST NATURAL NUMBERS Y, Z SUCH THAT: (*) T(X)= T(Y)+T(Z). (HERE T(X), T(Y), T(Z) DENOTE TRIANGULAR NUMBERS). THE DESCRIPTION OF ALL COMPOSITE NUMBERS OF THEFORM X2+(X+1)2 IS REDUCED TO THE STUDY OF THE INTEGRAL SOLUTIONS OF THE FOLLOWING FAMILY OF DIOPHANTINE EQUATIONS OF FERMAT TYPE: (FK) X2- 2Y2=2K2-1, K=0,1,2,... . THUS THE STUDY OF EQUATION (*) IS REDUCED TO THE STUDY OF THE FAMILY OF EQUATIONS (FK) IN TERMS OF GAUSS TYPE TRANSFORMATIONS. FINALLY, ALL COMPOSITE NUMBERS OF THE FORM X2+(X+1)2 ARE DETERMINED IN TERMS OF SUITABLE (NON-HOMOGENEOUS) LINEAR RECURRENCE SEQUENCES OF ORDER 2 (THEOREM 3.4.15). AS A CONSEQUENCE, ALL PRIMES OF THE SAME FORM IN A GIVEN INTERVAL CAN BE DETERMINED BY A SEIVING PROCEDURE (THEOREM 3.4.16).

DIOPHANTINE EQUATIONS
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ {ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ}
Cyclotomy
ARITHMETICAL FUNCTIONS
LATTICE POINTS
ΑΠΑΛΕΙΦΟΥΣΑ {ΣΥΝΑΡΜΟΖΟΥΣΑ}
TRIANGULAR NUMBERS-DECOMPOSITION
ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κυκλοτομία
ΤΡΙΓΩΝΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Resultant
Διάσπαση
ΣΥΝΔΕΣΜΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ
PRIMITIVE ROOTS OF UNITY
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΑΡΧΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ

Εθνικό Κέντρο Τεκμηρίωσης (ΕΚΤ) (EL)
National Documentation Centre (EKT) (EN)

1986


National and Kapodistrian University of Athens
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών (ΕΚΠΑ)



*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)