EDDY CURRENT AND MAGNETIC FIELD CALCULATION IN A SYSTEM OF CONDUCTING SLAB(S) PRODUCED BY A GENERAL EXCITATION USING THE FFT ALGORITHM
ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΕΔΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΓΩΓΙΜΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΑΠΟ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ FFT
Panas, Stavros
Πάνας, Σταύρος
Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΥΤΗ ΕΧΕΙ ΣΑΝ ΣΚΟΠΟ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΔΙΝΟΡΡΕΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΙΜΗ ΠΛΑΚΑ # ΑΓΩΓΙΜΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ, ΟΠΩΣ ΤΗΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΝ ΤΙΣ ΑΓΩΓΙΜΕΣ ΠΛΑΚΕΣ. Η ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΟΠΟΘΕΤΕΙΤΑΙ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΠΡΟΣ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΧΟΖ, ΟΠΟΥ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΧΟΖ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΜΕ ΤΙΣ ΑΓΩΓΙΜΕΣ ΠΛΑΚΕΣ. Η ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΟΣ ΟΖ ΚΑΙ Η ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Χ, ΜΕ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΠΟΥ ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ: Ι = Ι(Χ,Τ) FN(Y-B)Z ΣΑΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΕΚΦΡΑΣΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Α, ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Ο ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΟΣ MF ΩΣ ΠΡΟΣ Χ ΚΑΙ Τ. Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIERΥΠΟΛΟΓΙΖΕΤΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΑΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER IDFT. ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΟΥ IDFT ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΤΑΧΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER IFFT. Η ΦΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΑΜΕ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΚΑΙ ΤΟ ΟΠΟΙΟΘΑ ΕΞΕΤΑΣΟΥΜΕ ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΑΠΑΙΤΕΙ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΟΥ IDFT ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΟΥΤΕ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΟΥΤΕ ΣΤΗΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΕΤΟΙΑΣ ΜΟΡΦΗΣ ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΟΥ ΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΕΙ ΜΕ ΤΑΧΥ ΚΑΙ ΕΥΚΟΛΟ ΤΡΟΠΟ ΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΠΑΡΑΠΟΙΗΣΗΣ (ALIASING ERROR) ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗΣ (TRUNCATION ERROR). ΓΙΑ ΤΟΝ ΣΚΟΠΟ ΑΥΤΟ ΑΝΑΠΤΥΞΑΜΕ ΜΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΙ ΤΑΧΥΤΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕ ΕΥΚΟΛΟ ΤΡΟΠΟ ΤΟΝ IDFT ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΣΦΑΛΜΑΤΑ, ΜΕ ΒΑΣΗ ΩΡΙΣΜΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ. ΣΑΝ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΑΜΕ: ΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΙΑΣ ΑΓΩΓΙΜΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΓΩΓΟ Ο ΟΠΟΙΟΣ ΔΙΑΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΩΣΠΡΟΣ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ, ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΦΥΛΛΟ ΜΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 'Η ΜΕ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΩΣ ΠΡΟΣ Χ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΩΣ ΠΡΟΣ Τ. ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΑΓΩΓΙΜΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΓΩΓΟ Ο ΟΠΟΙΟΣ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΥΤΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΟ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ ΣΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΣΧΕΣΗΣ (SHIELDING). ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΑΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΥΟ ΑΓΩΓΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΔΙΑΡΡΕΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΡΕΥΜΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΙΝΟΥΝΤΑΙ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΑΓΩΓΙΜΗΣ ΠΛΑΚΑΣ.
THE PRESENT THESIS IS DIVIDED IN TWO PARTS. IN THE FIRST PART THE PROBLEM OF CALCULATING THE DISCRETE FOURIER TRANSFORM (DFT) OR THE INVERSE DISCRETE FOURIER TRANSFORM (IDFT) OF FUNCTIONS THAT ARE NOT DURATION LIMITED AND NOT BAND LIMITED IS CONSIDERED. FOR THIS CATEGORY OF FUNCTIONS TWO KINDS OF ERRORS ARE INTRODUCED, BY THE USE OF DFT OR IDFT. THESE ERRORS ARE THE TRUNCATION ERROR (TE)AND THE ALIASING ERROR (AE). THESE ERRORS ARE INFLUENCED BY THREE PARAMETERS WHICH ARE THE KIND AND THE WIDTH OF THE WINDOW FUNCTION AND THE NUMBER OF SAMPLES. SINCE THERE WAS NOT ANY AVAILABLE METHOD RELATING THE ABOVE PARAMETERS TO THE TE AND AE WE FACED A PROBLEM WHICH WE SHOULD OVERCOME. FOR THIS REASON WE HAVE DEVELOPED A METHOD (CHAPTER II) WHICH WE HAVE CALLED "THE BEST DC VALUEMETHOD". THIS METHOD FIRST ESTABLISHES A SUITABLE TRUNCATION INTERVAL SO THATTHE TE WILL BE WITHIN ACCEPTABLE LIMITS AND THEN MINIMIZES THE AE. WE HAVE ALSO OBSERVED THAT FOR THE DC (ZERO FREQUENCY) TERM AND FOR CONSTANT NUMBER OF SAMPLES THERE EXIST A TRUNCATION INTERVAL FOR WHICH TE AND AE CANCEL EACH OTHER. THIS IS A VERY INTERESTING RESULT AND CAN BE USED AS A BASIS FOR A SEPARATEMATHEMATICAL ANALYSIS. THE METHOD WE HAVE INTRODUCED CAN BE USED FOR THE CALCULATION OF GENERALIZED INTEGRALS AND FOR THE CALCULATION OF DFT AND IDFT OF GENERAL FUNCTIONS. IN THE SECOND PART OF THE THESIS, WHICH CONSISTS OF CHAPTER IV TO CHAPTER V WE HAVE APPLIED THE BEST DC VALUE METHOD FOR THE SOLUTION OF CERTAIN ELECTROMAGNETIC PROBLEMS. SO WE HAVE CALCULATED THE EDDY CURRENT DENSITYWITH AND WITHOUT THE DISPLACEMENT CURRENT FOR DIFFERENT KINDS OF EXCITATIONS FOR ONE CONDUCTING SLAB AND FOR A SYSTEM OF TWO CONDUCTING SLABS. WE HAVE ALSO CALCULATED THE MAGNETIC FLUX DENSITY FOR THE REGIONS OUTSIDE THE SLAB(S). THE EXCITATION WAS A CURRENT DISTRIBUTION OF THE GENERAL FORM: (TYPE). THE EXCITATION WAS PLACED ABOVE AND PARALLEL TO THE SLAB(S) AT A DISTANCE Y=B. WE HAVE EXAMINED THE CASES WHERE I(X,T) WAS A LINE CURRENT SHEET OF FINITE WIDTH AND OF CONSTANT DENSITY, AND A CURRENT SHEET OF FINITE WIDTH AND OF SINUSOIDAL VARIATION WITH RESPECT TO X. THE PENETRATION DEPTH AS WELL AS THE SHIELDING EFFECTWHICH IS INTRODUCED IN THE CASE OF TWO SLABS WAS EXAMINED WITH VERY INTERESTING RESULTS. IN THE VI CHAPTER AN ANALYTICAL APPROACH TO THE CALCULATION OF EDDY CURRENT DENSITY AND MAGNETIC FLUX DENSITY WITH THE EXCITATION BEING A SYSTEM OF TWO CONDUCTORS CARRYING DC CURRENT AND TRAVELLING WITH CONSTANT VELOCITY ABOVE THE CONDUCTING SLAB WAS INTRODUCED. WE MUST MENTION THAT THE RESULTS AGREE WITH THOSE OBTAINED WITH OTHER METHODS (WHERE RESULTS EXIST). OUR APPROACH IS VERY POWERFULL AND CAN BE USED FOR THE SOLUTION OF LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF TWO DIMENSIONS. FOR THE CALCULATION OF THE DFT THE FAST FOURIER TRANSFORM ALGORITHM WAS USED.
