1. Αρχική σελίδα
  2. Αναζήτηση

Probability in high dimension: threshold phenomena for the measure of random polytopes

Το τεκμήριο παρέχεται από τον φορέα :
Εθνικό Κέντρο Τεκμηρίωσης και Ηλεκτρονικού Περιεχομένου (ΕΚΤ)   

Αποθετήριο :
Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών  | ΕΚΤ ΕΑΔΔ   

δείτε την πρωτότυπη σελίδα τεκμηρίου
στον ιστότοπο του αποθετηρίου του φορέα για περισσότερες πληροφορίες και για να δείτε όλα τα ψηφιακά αρχεία του τεκμηρίου*



Πιθανότητες σε μεγάλες διαστάσεις: φαινόμενα κατωφλίου για το μέτρο τυχαίων πολυτόπων
Probability in high dimension: threshold phenomena for the measure of random polytopes
Pafis, Minas
Πάφης, Μηνάς
PhD Thesis
2025
We study the question how to obtain a threshold for the expected measure of a random polytope defined as the convex hull of independent random points with a log-concave distribution. For a precise formulation of the problem, let μ be a log-concave probability measure on R^nand for any N > n consider the random polytope K_N = conv{X_1, . . . , X_N }, where X_1, X_2,... are independent random points in R^n distributed according to μ. The question is if there exists a threshold for the expected measure E[μ(K_N)]] of K_N .Our approach is based on the Cramer transform Λ* of μ. We examine the existence of moments of all orders for Λ* and establish, under some conditions, a sharp threshold for E[μ(K_N)]: It is close to 0 if lnN=(1+o_n(1))E[Λ*].The main condition is that the parameter β(μ)=Var(Λ*)/Ε[Λ*]^2 should be small (ideally o_n(1)).
Μελετάμε το ερώτημα αν εμφανίζονται φαινόμενα κατωφλίου για τη μέση τιμή του μέτρου του τυχαίου πολυτόπου που ορίζεται ως η κυρτή θήκη ανεξάρτητων τυχαίων σημείων με την ίδια (τυχούσα) λογαριθμικά κοίλη κατανομή. Για μια ακριβέστερη διατύπωση του προβλήματος, έστω μ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R^n και για κάθε N > n ας θεωρήσουμε το τυχαίο πολύτοπο K_N=conv{X_1,...,X_N}, όπου X_1,X_2,... είναι μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων σημείων στον R^n που έχουν κατανομή μ. Το ερώτημα είναι αν υπάρχει φαινόμενο κατωφλίου για τη μέση τιμή E[μ(K_N)] του μέτρου του K_N. Η προσέγγισή μας βασίζεται στον μετασχηματισμό Cramer Λ* του μ. Εξετάζουμε την ύπαρξη ροπών κάθε τάξης της Λ* και στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι, κάτω από κάποιες προϋποθέσεις, εμφανίζεται ισχυρό φαινόμενο κατωφλίου για την E[μ(K_N)]: Eίναι κοντά στο 0 αν lnN=(1+o_n(1))E[Λ*]. Η βασική προϋπόθεση είναι η παράμετρος β(μ)=Var(Λ*)/Ε[Λ*]^2 να είναι μικρή (ιδανικά ο_n(1)).
Φυσικές Επιστήμες ➨ Μαθηματικά ➨ Μαθηματική ανάλυση
Μετασχηματισμός Cramer
Half-space depth
Κυρτά σώματα
Τυχαία πολύτοπα
Μαθηματικά
Βάθος ως προς ημιχώρους
Mathematics
Random polytopes
Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας
Φυσικές Επιστήμες
Isotropic constant
Convex bodies
Φαινόμενα κατωφλίου
Mathematical analysis
Threshold phenomena
Ισοτροπική σταθερά
Cramer transform
Natural Sciences
Μαθηματική ανάλυση
Log-concave probability measures
Ελληνική γλώσσα
National and Kapodistrian University of Athens
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών (ΕΚΠΑ)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών (ΕΚΠΑ). Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών. Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης
Εθνικό Κέντρο Τεκμηρίωσης και Ηλεκτρονικού Περιεχομένου (ΕΚΤ)
Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Συλλογή ΕΑΔΔ



*Η εύρυθμη και αδιάλειπτη λειτουργία των διαδικτυακών διευθύνσεων των συλλογών (ψηφιακό αρχείο, καρτέλα τεκμηρίου στο αποθετήριο) είναι αποκλειστική ευθύνη των αντίστοιχων Φορέων περιεχομένου.