Η Δυϊκότητα Gelfand αφορά μια σχέση δυϊκότητας, δηλαδή μια αντισταθμιστική ισοδυναμία μεταξύ κατηγοριών, με συγκεκριμένες καλές ιδιότητες, τοπολογικών χώρων και αλγεβρών συνεχών συναρτήσεων. Η περίπτωση των μεταθετικών αλγεβρών έχει μελετηθεί διεξοδικά, ενώ αυτή των μη μεταθετικών είναι ακόμα υπό εξέλιξη. Στην κλασική μεταθετική περίπτωση, η Δυϊκότητα Gelfand μας παρέχει μια δυϊκότητα μεταξύ συμπαγών χώρων Hausdorff και μεταθετικών C* αλγεβρών και, περαιτέρω, έχει επεκταθεί σε πολλές άλλες κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η μη μεταθετική περίπτωση περιλαμβάνει τη Μη Μεταθετική Θεωρία Μέτρου, τη Μη Μεταθετική K-θεωρία αλλά και αρκετά ακόμη θέματα, τα οποία εντάσσονται στον ευρύτερο κλάδο της Μη Μεταθετικής Γεωμετρίας. Η παρούσα διατριβή αποτελεί μια επισκόπηση των θεμάτων που προαναφέραμε, δίνοντας έμφαση στην μεταθετική περίπτωση και κάνοντας αναφορά σε θέματα που αποτελούν αντικείμενο ενεργούς έρευνας, προς την κατεύθυνση της Μη Μεταθετικής Γεωμετρίας.
(EL)
Gelfand Duality establishes a duality, i.e. a contravariant equivalence, between convenient categories of topological spaces and certain algebras of continuous functions. There has been much research in the case of commutative algebras, whereas the noncommutative case is still being developed. In the classical commutative case, Gelfand Duality gives a duality between compact Hausdorff spaces and commutative C*-Algebras and since then has been extended to many more classes of spaces. The noncommutative case includes Noncommutative Measure Theory, Noncommutative K-Theory and many other subjects incorporated in the field of Noncommutative Geometry. This thesis presents an overview of the aforementioned subjects, concentrating in the commutative case and commenting on topics of current research in the direction of Noncommutative Geometry.
(EN)
University of Ioannina
