Σκοπός της συγκεκριμένης πτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη και η παρουσίαση των αριθμητικών μεθόδων απλού βήματος Runge-Kutta και Runge-Kutta-Nyström για την αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Γίνεται υλοποίηση τους με συναρτήσεις στο MATLAB και η εφαρμογή τους στον υπολογισμό των ιδιοτιμών της χρονικά ανεξάρτητης μονοδιάστατης εξίσωσης Schrödinger. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την εξίσωση Schrödinger και τέσσερα δυναμικά, τον αρμονικό ταλαντωτή, τον διπλό αναρμονικό ταλαντωτή, το δυναμικό του Morse και το εκθετικό δυναμικό. Στο δεύτερο κεφάλαιο αρχικά αναφερόμαστε στις αριθμητικές μεθόδους γενικά. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τις μεθόδους Runge-Kutta για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, αναφερόμαστε στον τρόπο κατασκευής τους μέσω των συνθηκών τάξης αλλά και το πώς προκύπτουν οι συνθήκες τάξης από τα αντίστοιχα αναπτύγματα Taylor της αναλυτικής και της αριθμητικής λύσης, παραθέτουμε τέλος παραδείγματα μεθόδων Runge-Kutta. Στη συνέχεια στο ίδιο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τη θεωρία των μεθόδων Runge-Kutta-Nyström για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης και παραθέτουμε παραδείγματα τέτοιων μεθόδων. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε αριθμητικά αποτελέσματα. Εφαρμόζουμε τρεις μεθόδους Runge-Kutta-Nyström πέμπτης, έκτης και όγδοης τάξης για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών της μονοδιάστατης χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger με τη μέθοδο shooting. Συγκρίνουμε με τα αποτελέσματα που παίρνουμε από τη γνωστή μέθοδο δύο βημάτων τέταρτης τάξης Numerov. Στο κεφάλαιο 4 παραθέτουμε κάποια συμπεράσματα.
TEI of West Macedonia
