Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μαθηματικές μεθόδους Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης. Εφαρμογή στο πρόβλημα δυο σωμάτων

RDF 

 
Το τεκμήριο παρέχεται από τον φορέα :
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα (ΤΕΙ) Δυτικής Μακεδονίας
Αποθετήριο :
@νάκτησις
δείτε την καρτέλα τεκμηρίου
μέσα από τον ιστότοπο του αποθετηρίου του φορέα *
κοινοποιήστε το τεκμήριο



Σημασιολογικός εμπλουτισμός/ομογενοποίηση από το EKT

2015 (EL)
Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μαθηματικές μεθόδους Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης. Εφαρμογή στο πρόβλημα δυο σωμάτων

Δημάκης, Ευστράτιος

Το αντικείμενο της παρούσας πτυχιακής εργασίας, είναι η παρουσίαση του τρόπου κατασκευής αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, θα κατασκευάσουμε άμεσες αριθμητικές μεθόδους Runge-Kutta για την ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Ιδιαίτερη προσοχή θα δώσουμε στα σφάλματα φάσης (τα οποία καλούνται και ως διασπορά ή υστέρηση φάσης) και παρουσιάζονται στις μεθόδους Runge-Kutta. Για την παρουσίαση και την κατασκευή των άμεσων αριθμητικών μεθόδων Runge-Kutta και Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης, θα προβούμε στον προγραμματισμό τους σε αρχεία Matlab. Για την μαθηματική ανάλυση και τον υπολογισμό της διασποράς τάξης των μεθόδων Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης, θα κατασκευάσουμε κατάλληλα αρχεία χρησιμοποιώντας το περιβάλλον προγραμματισμού Mathematica. Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά των αριθμητικών αυτών μεθόδων και για να οδηγηθούμε στην εξαγωγή συμπερασμάτων, θα χρησιμοποιήσουμε προβλήματα ελέγχου (test problems) στα οποία γνωρίζουμε την λύση τους. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται οι βασικές εισαγωγικές έννοιες για τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις καθώς και για τις αριθμητικές μεθόδους επίλυσής τους. Επίσης, στις παραγράφους του κεφαλαίου αυτού παρουσιάζετε ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα των διαφορικών εξισώσεων, το οποίο είναι το πρόβλημα αρχικών τιμών πρώτης τάξης. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μπορεί κανείς να μελετήσει τις πλέον πιο δημοφιλείς αριθμητικές μεθόδους απλού βήματος για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, δηλαδή, τις μεθόδους Runge-Kutta. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta και στις συνθήκες των μεθόδων που προέκυψαν. Πιο συγκεκριμένα, σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά πως προκύπτουν οι συνθήκες των άμεσων μεθόδων Runge-Kutta υψηλής τάξης με το ανάπτυγμα Taylor. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η θεωρία της ελάχιστης υστέρησης φάσης των άμεσων μεθόδων Runge-Kutta, καθώς και η υλοποίηση τους στο Mathematica για διάφορες τάξης διασποράς και για αλγεβρική τάξη ακρίβειας 2 και 3. Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στα προβλήματα αρχικών τιμών τα οποία χρησιμοποιήθηκαν ως προβλήματα ελέγχου για την μελέτη των αριθμητικών μεθόδων που κατασκευάστηκαν. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται το πρόβλημα του Kepler δύο σωμάτων και το τροποποιημένο πρόβλημα του Kepler, τα οποία ανήκουν στα Χαμιλτονιανά προβλήματα. Στο πέμπτο κεφάλαιο, δίνονται τα αριθμητικά αποτελέσματα και οι γραφικές παραστάσεις για το πρόβλημα του Kepler δυο σωμάτων, για τις μεθόδους απλού βήματος Runge-Kutta υψηλής τάξης και για τις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης. Τέλος, υπάρχουν τέσσερα παραρτήματα. Στο πρώτο παράρτημα παρουσιάζουμε το θεώρημα Taylor με το οποίο αναπτύξαμε πολλές συναρτήσεις στην παρούσα εργασία. Στο δεύτερο παράρτημα, δίνονται οι μέθοδοι απλού βήματος Runge-Kutta υψηλής τάξης που υλοποιήθηκαν. Στο τρίτο παράρτημα παρουσιάζεται, με print screen, η διαδικασία εύρεσης της phase-lag τάξης των μεθόδων Runge-Kutta που υλοποιήσαμε στο Mathematica και στο τέταρτο παρατίθενται οι κώδικες συναρτήσεων σε Matlab.

Thesis
NonPeerReviewed

Διαφορικές εξισώσεις
Μαθηματικά μοντέλα
MATLAB

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα (ΤΕΙ) Δυτικής Μακεδονίας (EL)
TEI of West Macedonia (EN)

2015-06


cc_by_nc_nd



*Η εύρυθμη και αδιάλειπτη λειτουργία των διαδικτυακών διευθύνσεων των συλλογών (ψηφιακό αρχείο, καρτέλα τεκμηρίου στο αποθετήριο) είναι αποκλειστική ευθύνη των αντίστοιχων Φορέων περιεχομένου.