Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων. Συγκεκριμένα, θα κατασκευάσουμε άμεσες συμπλεκτικές Partitioned Runge-Kutta μεθόδους για την ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων ν-οστης τάξης.
Για την παρουσίαση και την κατασκευή των μεθόδων θα προβούμε στον προγραμματισμό τους χρησιμοποιώντας το περιβάλλον του προγράμματος Matlab.
Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά των συγκεκριμένων αριθμητικών μεθόδων αλλά και για να οδηγηθούμε στην εξαγωγή συμπερασμάτων, θα χρησιμοποιήσουμε προβλήματα δοκιμής.
Αρχικά, στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται οι βασικές εισαγωγικές έννοιες για τις διαφορικές εξισώσεις.
Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνονται εισαγωγικές πληροφορίες για τις αριθμητικές μεθόδους και την ευστάθειά τους.
Στη συνέχεια, αναφέρονται οι μέθοδοι Runge-Kutta και η γενική τους μορφή μέχρι ν-οστης τάξης.
Στο τρίτο κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στις Partitioned Runge-Kutta μεθόδους και στα συστήματα Hamilton.
Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται εισαγωγή στις συμπλεκτικές Runge-Kutta μεθόδους και στη συνέχεια στις συμπλεκτικές Partitioned Runge-Kutta μεθόδους.
Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα αριθμητικά αποτελέσματα των μεθόδων στα προβλήματα δοκιμής. Πιο συγκεκριμένα, δίνονται τα αποτελέσματα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή και του προβλήματος του Kepler. Επίσης, παρουσιάζονται και οι γραφικές παραστάσεις των αποτελεσμάτων.
Τέλος, παρατίθενται τα συμπεράσματα της εργασίας.
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα (ΤΕΙ) Δυτικής Μακεδονίας
