Το παρόν Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό (Ε.Δ.Υ.) σκοπό έχει να συμπληρώσει τη μελέτη της διδακτέας ύλης από το σπουδαστή, η κύρια και θεωρητική παρουσίαση της οποίας, του παρέχεται στα βιβλία [Καμβύσας Γρ. - Χατζηνικολάου Μ. "Γραμμική Άλγεβρα", ΦΥΕ 20/1, ΕΑΠ], [Μπούντης Αν. "Διαφορικές Εξισώσεις Ι", ΦΥΕ 20/2, ΕΑΠ] της Θεματικής Ενότητας ΦΥΕ 20.
Το Ε.Δ.Υ. στοχεύει στην καλλιέργεια δεξιοτήτων χειρισμού των θεωρητικών εννοιών σε συγκεκριμένα προβλήματα ώστε ο σπουδαστής να καταστεί ικανός να εφαρμόζει την αντίστοιχη θεωρία προς λύση πρακτικών ασκήσεων. Μ' αυτό τον τόπο εμβαθύνει στη θεωρία, διασαφηνίζει κρυμμένες πτυχές της αλλά και ανακαλύπτει την ενδογενή μαθηματική σύνδεση των θεωρητικών εννοιών πίσω από την, απλή ή πολύπλοκη, εκφώνηση μιας άσκησης.
Για να προσεγγίσει αυτό το στόχο το ΕΔΥ είναι γραμμένο στο σύνολό του με την εξής δομή:
• Σε κάθε παράγραφο υπάρχει συνοπτική παρουσίαση της αντίστοιχης θεωρίας, που σκοπό έχει να κρατήσει στο νου τα κύρια σημεία, τοποθετημένα με συστηματικό τρόπο, ώστε να είναι εύχρηστα κάθε φορά που θα χρειαστούν σε κάποια εφαρμογή. Με κανέναν τρόπο ωστόσο, η συνοπτική αυτή παρουσίαση της θεωρίας δεν υποκαθιστά τη μελέτη της αντίστοιχης παραγράφου από το κύριο βιβλίο όπου η παρουσίαση είναι αναλυτική, πλήρης και τοποθετημένη στο γενικότερο πλαίσιο όπου ανήκει κάνοντας φανερές τις συνδέσεις με προηγούμενες έννοιες, τα κίνητρα εισαγωγής των νέων εννοιών κ.ο.κ. Έτσι, ο σπουδαστής θα έχει πλήρη κατανόηση της θεωρίας της ύλης του μόνον αν μελετήσει το ΕΔΥ ως συμπλήρωμα του κυρίου βιβλίου και όχι ως αυτόνομο διδακτικό υλικό.
• Τη συνοπτική θεωρία ακολουθούν εφαρμογές της, σε ασκήσεις που είναι ταξινομημένες σε τρεις κατηγορίες. Οι ασκήσεις κατηγορίας Α περιλαμβάνουν εισαγωγικές και πιο πολύπλοκες ασκήσεις, επεξεργασμένες πολύ αναλυτικά έτσι ώστε να είναι ξεκάθαρος ο τρόπος σκέψης για την αντιμετώπισή τους, η λύση καθεαυτή και συνήθως κάποια σχόλια σχετικά με την εκφώνηση, την αντιμετώπιση ή το αποτέλεσμα της άσκησης. Τέλος, οι περισσότερες ασκήσεις ολοκληρώνονται με επαλήθευση της λύσης στην οποία έχουμε καταλήξει, κίνηση η οποία αποτελεί έλεγχο, αλλά και απόδειξη, της ορθότητας της αντιμετώπισης που εκτελέσαμε. Ωστόσο, από κάποιο σημείο της ύλης και μετά, όπου η διαδικασία της αντιμετώπισης γίνεται μακροσκελής και πολύπλοκη, επιλέγουμε να παραλείπουμε τις επαληθεύσεις ώστε να μη χαθεί ο διδακτικός στόχος και ο ειρμός της παρουσίασης. Καλό είναι όμως, ο σπουδαστής να μην παραπλανηθεί, αλλά να επαληθεύει συχνά τα στάδια της λύσης του ώστε να προχωρά με σιγουριά και να ανακαλύπτει εγκαίρως τυχόν αβλεψίες. Έτσι, οι ασκήσεις κατηγορίας Α περιλαμβάνουν τις περισσότερες φορές Εκφώνηση, Κατανόηση, Λύση και Σχόλια.
• Οι ασκήσεις κατηγορίας Β αφορούν αντίστοιχες ασκήσεις των οποίων η αντιμετώπιση περιλαμβάνει απ' ευθείας τη λύση, ο τρόπος σκέψης είναι φανερός χωρίς όμως να αποτελεί αντικείμενο αναλυτικής παρουσίασης. Σ' αυτήν την κατηγορία ασκήσεων, υπάρχει κατά κύριο λόγο Εκφώνηση, Λύση και Σχόλια.
• Τέλος, οι ασκήσεις κατηγορίας Γ περιλαμβάνουν εκφωνήσεις ασκήσεων με τις αντίστοιχες απαντήσεις τους, χωρίς όμως να γίνεται παρουσίαση της σκέψης ή της λύσης του, με σκοπό να ασκηθεί σ' αυτές μόνος ο σπουδαστής, ελέγχοντας ο ίδιος το επίπεδο της κατανόησής του και το βαθμό στον οποίο έχει αναπτύξει τις απαιτούμενες δεξιότητες.
Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι ο σπουδαστής θα λάβει τη μέγιστη ωφέλεια από το ΕΔΥ αν το μελετήσει στο σύνολό του και με τη σειρά που δίνεται. Οι ασκήσεις είναι τοποθετημένες έτσι ώστε προοδευτικά να καλύπτουν μεγαλύτερο κομμάτι θεωρίας, ενώ η διατύπωση της θεωρίας σε κάθε μία άσκηση μπορεί να διαφέρει, επαναλαμβάνοντας, διασαφηνίζοντας ή τονίζοντας κάποια στοιχεία που ίσως να μην είχαν γίνει αντιληπτά προηγούμενα. Έτσι, η πλήρης εικόνα για κάθε παράγραφο αποκτάται μετά τη μελέτη της αντίστοιχης θεωρίας και του συνόλου των ασκήσεων κατηγορίας Α και κατηγορίας Β.
Επιπλέον, μεταξύ των ασκήσεων κατηγορίας Α, Β και Γ περιλαμβάνονται άλυτες ασκήσεις των κυρίων βιβλίων ([Καμβύσας Γρ. - Χατζηνικολάου Μ. "Γραμμική Άλγεβρα", ΦΥΕ 20/1, ΕΑΠ], [Μπούντης Αν. «Διαφορικές Εξισώσεις Ι», ΦΥΕ 20/2, ΕΑΠ]) της ΦΥΕ 20, οι οποίες δηλώνονται σαφώς με αναφορά στο αντίστοιχο βιβλίο με τον αριθμό της άσκησης που εμφανίζεται στο βιβλίο, ώστε ο σπουδαστής να διευκολυνθεί στην αναγνώρισή της.
Οι ασκήσεις σημειώνονται με τον ακόλουθο τρόπο: Χ.Y.Ζ.W, όπου X=αριθμός κεφαλαίου, Y=αριθμός υποκεφαλαίου, Z=κατηγορία ασκήσεων και W=αύξων αριθμός άσκησης. Π.χ. η γραφή 1.4.Β.3, δηλώνει μια άσκηση του υποκεφαλαίου 1.4, της κατηγορίας ασκήσεων Β με αύξοντα αριθμό 3. Σημειώστε μόνο πως ο συμβολισμός υποκεφαλαίου ως π.χ. 2.6-7. δηλώνει πως εδώ συμπεριλαμβάνονται δύο υποκεφάλαια από το κύριο βιβλίο (τα 2.6 και 2.7 εν προκειμένω).
Το Ε.Δ.Υ. είναι χωρισμένο σε δύο μέρη, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί στις δύο κύριες ενότητες της ΦΥΕ 20, τη Γραμμική Άλγεβρα και τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις.
Ειδικά για το Μέρος Α, τη Γραμμική Άλγεβρα, καλό είναι ο σπουδαστής πριν ξεκινήσει τη μελέτη του να έχει υπ' όψη του τα εξής:
• Στο παρόν ΕΔΥ ο συμβολισμός των διανυσμάτων γίνεται με έντονα γράμματα, π.χ. και η γραφή των συντεταγμένων τους γίνεται με τρεις ισοδύναμους τρόπους: , ή , ή .
• Τα σύμβολα , και , που χρησιμοποιούνται στο παρόν υλικό, σημαίνουν "ανήκει", "υπάρχει" και "για κάθε", αντίστοιχα.
• Η λογική και η κατανομή της ύλης σε αυτό το μέρος βρίσκεται σε συμφωνία με το κυρίως βιβλίο: Καμβύσας Γρ. - Χατζηνικολάου Μ. "Γραμμική Άλγεβρα", ΦΥΕ 20/1, ΕΑΠ.
• Δεν υπάρχουν καθόλου ασκήσεις ή πρόσθετο υλικό για το υποκεφάλαιο 2.1, καθώς αυτό είναι επαναληπτικό και αναφέρεται σε γνώσεις του προηγούμενου έτους σπουδών.
• Είναι αυτονόητο πως καθώς προχωρά κανείς στα κεφάλαια του βιβλίου μπορεί εύκολα να κατασκευάσει ασκήσεις που να απαιτούν ή να συνδυάζουν γνώσεις από περισσότερα από ένα κεφάλαια. Έτσι, στο υλικό αυτό συμπεριλαμβάνονται συχνά τέτοιου είδους συνδυαστικές ασκήσεις. Επίσης, πολλές φορές συναντά κανείς σε επόμενο κεφάλαιο νέους τρόπους αντιμετώπισης ενός συγκεκριμένου τύπου ασκήσεων, κάτι που αναφέρεται σαφώς στη μεθοδολογία, ενώ συχνά αντιπαραβάλλονται οι τρόποι επίλυσης αυτών των ασκήσεων.
• Τέλος, θα θέλαμε να αναφέρουμε πως στις ασκήσεις του κάθε υποκεφαλαίου δίνεται έμφαση στο αντίστοιχο κομμάτι της θεωρίας και τις περισσότερες φορές, αν υπάρχουν κομμάτια της άσκησης που αναφέρονται σε προηγούμενο υποκεφάλαιο ή ακόμη περισσότερο σε προηγούμενο κεφάλαιο, αυτά επιλύονται πιο συνοπτικά, καθώς θεωρούνται ήδη γνωστά (κάτι που συμβαίνει π.χ. σε μεγάλο βαθμό όποτε προκύπτει η ανάγκη να ελέγξουμε τη γραμμική ανεξαρτησία κάποιων διανυσμάτων - μια από τις πιο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας - και βρισκόμαστε σε επόμενο κεφάλαιο από αυτό στο οποίο η έννοια αυτή εξηγείται αναλυτικά).
Όσο αφορά το Μέρος Β, τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, επισημαίνουμε τα εξής:
• Στο πλαίσιο του παρόντος υλικού όλες οι συναρτήσεις θεωρούνται αρκετά καλές ώστε να ικανοποιούνται οι αναγκαίες προϋποθέσεις για να ορίζονται οι εκάστοτε πράξεις, π.χ. διαφόρισης, ολοκλήρωσης κ.λ.π.. Θεωρούμε λοιπόν ότι όλες οι συναρτήσεις ανήκουν στο σύνολο , δηλαδή έχουν συνεχείς παραγώγους μέχρι και άπειρης τάξης, εκτός και αν δηλώνεται σαφώς κάτι διαφορετικό.
• Όπου δε δηλώνεται σαφώς το θεμελιώδες πεδίο μας ΣΔΕ, θεωρείται ότι αυτό είναι το μέγιστο σύνολο στο οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις που εμφανίζονται.
