Από τη πρώτη μαγνητική πυρηνική εικόνα που παράχθηκε το 1973, η απεικόνιση μαγνητικού συντονισμού (ΜΣ) εξελίχθηκε σε ένα κλινικά απαραίτητο και αποτελεσματικό εργαλείο απεικόνισης στη διαγνωστική ιατρική. Η ραγδαία ανάπτυξη που είχε σε κλινικές εφαρμογές συνοδεύτηκε, με το χρόνο, από πολυάριθμες καινοτομίες και προόδους στην απεικόνιση ΜΣ. Σε σημαντικό βαθμό, αυτή η εξέλιξη έχει επιτευχθεί μέσω αλλαγών στις τεχνικές εντοπισμού και μέσω νέων μηχανισμών αντίθεσης που έχουν βελτιώσει σε μεγάλο βαθμό την ποιότητα της εικόνας. Η ΜΣ απεικόνιση μπορεί να επωφεληθεί από μεθόδους μείωσης του χρόνου σάρωσης, με οφέλη τόσο για τον ασθενή όσο και στο κόστος της παροχής υπηρεσιών υγείας.
Ο μηχανισμός της απεικόνισης ΜΣ αποτελεί ένα ταιριαστό πεδίο εφαρμογής της νέας θεωρίας της Συμπιεστικής Δειγματοληψίας (ΣΔ). Η ΣΔ είβναι μία καινοτόμος μέθοδος για την ανάκτηση και ανακατασκευή αραιών σημάτων, από δεδομένα που έχουν ληφθεί με υπο-δειγματοληψία. Η θεωρία του ΣΔ προχωράει πέρα από τη συνήθη μεθοδολογία της συμπίεσης όπου ένα σήμα πρώτα πρέπει να δειγματοληφθεί κατά Nyquist και έπειτα να συμπιεστεί, αποδεικνύοντας πως μια επιτυχής ανακατασκευή ενός αραιού σήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί με μεγάλη πιθανότητα, λύνοντας ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς, χρησιμοποιώντας ένα πολύ μικρό αριθμό μετρήσεων. Το πλήθος αυτών των μετρήσεων, γραμμικών συνδυασμών των τιμών του σήματος είναι ανάλογο της αραιότητας του σήματος και μικρότερο από το πλήθος των δειγμάτων που προβλέπει η κατά Nyquist θεωρία. Δύο προϋποθέσεις εγγυώνται την επιτυχή ανακατασκευή: το σήμα πρέπει να είναι αραιό (η συμπιέσιμο) σε κάποια βάση και οι μετρήσεις του σήματος πρέπει να αποκτούνται μέσω ενός «τυχαίου» τρόπου δειγματοληψίας. Η διαδικασία ΜΣ πληροί τις προϋποθέσεις αυτές. Πράγματι οι εικόνες ΜΣ είναι είτε φυσικά αραιές είτε μπορούν να αναπαρασταθούν αραιά σε κάποιο κατάλληλο πεδίο μετασχηματισμού. Ακόμη, η διαδικασία που λαμβάνεται το σήμα ΜΣ μέσω του τομογράφου, είναι αρκετά ευέλικτη και προσαρμόσιμη, και μπορεί να σχεδιαστεί με τρόπο που να ενσωματώνει την έννοια της τυχαίας λήψης δειγμάτων.
Σε αυτή τη διατριβή μελετάμε την απόδοση τριών αλγόριθμων ΣΔ κατά την εφαρμογή τους σε σήματα μαγνητικών τομογραφιών. Στόχος μας είναι η παρουσίαση των βασικών ιδεών της απεικόνισης ΜΣ και με τρόπο που να ενσωματώνει την θεωρία της ΣΔ. Όλες οι μέθοδοι χρησιμοποιούν τη θεωρία ΣΔ για την ανάκτηση των ακατέργαστων ΜΣ από υπο- δειγματοληψία, με σκοπό την ανακατασκευή τηςη εικόνας ΜΣ. Οι αλγόριθμοι διαφέρουν ως προς τη διατύπωση και τον τρόπο που λύνουν το πρόβλημα βελτιστοποίησης. Οι μέθοδοι παρουσιάζονται αναλυτικά, συγκρίνονται και αξιολογούνται με βάση την ποιότητα ανακατασκευής, την αλγοριθμική πολυπλοκότητα, αλλά και τις απαιτήσεις χρόνου. Η πρώτη μέθοδος, Smoothed ℓ0, λύνει το πρόβλημα της ανακατασκευής χρησιμοποιώντας μια προσέγγιση της ℓ0 νόρμας. Είναι μια πολύ γρήγορη τεχνική με χαμηλή πολυπλοκότητα. Οι άλλες δύο μέθοδοι έχουν μεγαλύτερη πολυπλοκότητα αλλά επιτυγχάνουν καλύτερη απόδοση ανακατασκευής: η μέθοδος ℓ1-magic, λύνει το πρόβλημα βελτιστοποίησης της ℓ1 νόρμας μέσω της μεθόδου Newton και χρησιμοποιείται ευρέως από τη κοινότητα ΣΔ. Η τεχνική SparseMRI , χρησιμοποιεί ένα μη-γραμμικό βαθμιδωτό αλγόριθμο καθόδου κλίσης με οπισθοδρόμηση. Οι αλγόριθμοι που παρουσιάζονται συνεισφέρουν στην κατανόηση και στη σύνδεση των μυστικών που κρύβονται πίσω από τις θεωρίες ΣΔ και απεικόνισης ΜΣ.
(EL)
Since the first magnetic nuclear image was produced in 1973, magnetic resonance (MR) imaging has evolved into a clinically indispensable and efeective tool in diagnostic
medicine. Over the years, the rapid growth in clinical applications has been accompanied by numerous technological advances in MR imaging (MRI). Much of this
evolution has been accomplished through advances in localization techniques and new mechanisms of contrast which have greatly improved image quality. Still, MRI could
benefit from approaches for scan time reduction, with benefits for patients and health care economics.
The nature of the MRI constitutes a natural fit for Compressive Sensing (CS). Compressive sensing is a novel framework for recovering and reconstructing compressible
signals from undersampled data. The theory of CS goes beyond conventional compression schemes where a signal should be sampled first and compressed afterwards, by stating that a successful signal reconstruction can be guaranteed with high probability by solving a convex optimization problem using only a small number of linear combinations of the signal' s values. Successful reconstruction is guaranteed under two assumptions, namely, the signal is sparse or compressible in some basis and the signal measurements are acquired through "random" sampling. The MR modality meets the two assumptions above. Indeed, MR images are either naturally sparse
or may be sparsely represented in an appropriate transformed domain. Furthermore, MR acquisition schemes are quite exible and can be explicitly designed in order to
incorporate the notion of randomness.
In this thesis, we study the performance of three compressive sensing algorithms when applied to magnetic resonance signal modalities. Our goal is to present the
basic MRI concepts as incorporated into the theory of CS, in a fashion that is comprehensible to a wide range of readers. All methods use the CS theory to recover the undersampled raw MR data and reconstruct the MR image but they differ in the minimization formulation of the reconstruction schemes they employ. The methods are thoroughly analyzed, compared and evaluated in terms of reconstruction quality,
algorithmic complexity, and time consumption. The first method, Smoothed ℓ0 , invokes the theory of CS and uses an ℓ0 approximation to solve the reconstruction problem. It is a very fast technique with low complexity. The two other methods exhibit higher complexity but they are able to achieve better reconstruction results: ℓ1-magic, a commonly used reconstruction algorithm, solves the optimization problem through Newton steps while Sparse MRI uses a non linear gradient descent technique with backtracking. The algorithms presented herein provide a coherent understanding of the secrets and the ideas behind both CS and MRI theories.
(EN)
