Εξετάζουμε την αποδειξιμότητα τριών θεωρημάτων της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών στο ΙΔο + exp και στο ΙΕ*2. Επίσης αποδεικνύουμε τρείς (ισοδύναμες) μορφές του Θεωρήματος Πρώτων Αριθμών από το ΙΔο+exp. Το βασικό βήμα για την απόδειξη είναι μία μορφή του λεγόμενου "Συμμετρικού Τύπου του Selberg". Στο δεύτερο κεφάλαιο αποδεικνύουμε α) τον Νόμο της Τετραγωνικής Αντιστροφής και το Συμμετρικό Τύπο του Selberg από το ΙΕ*2 και β) το Αίτημα του Bertand από το ΙΔο(π,Κ) + DEF(K), όπου ΙΔο(π,Κ)+DEF(π)+DEF(K) το υποσύστημα του ΙΕ*2 που παίρνουμε αν στη γλώσσα της αριθμητικής προσθέσουμε τα νέα συναρτησιακά σύμβολα π,Κ, που αντιστοιχούν στις γνωστές συναρτήσεις π(χ)=αριθμός πρώτων <=χ, Κ(χ) = Σο <=n<=χlogn. Στο τρίτο κεφάλαιο αποδεικνύουμε, αριθμητικοποιώντας την τεχνική των ταμπλώ αποδείξεων, ένα θεώρημα για τελικές επεκτάσεις μοντέλων του ΒΣ1 + exp που είναι συντελικά με το ω, που απέδειξε η Ζ. Adamowicz με χρήση μοντελοθεωρητικών μεθόδων.
(EL)
We study provability of three theorems of elementary number theory in ΙΔo+exp and IΕ*2. We also prove, using techniques of proof theory, a known result concerning end extentions of models of ΒΣ1+exp. In chapter 1 we prove three (equivalent) statments of the prime number theorem in ΙΔo+exp. The basic step for the proof is a form of the so-called " Selberg symmetry formula". In chapter 2 we prove (a) the quadratic reciprocity law and the Selberg symmetry formula in IE*2. (b) Bertrands's postulate in N ΙΔo(π,Κ)+DEF(π)+DEF(K), where ΙΔΟ(π,Κ)+DEF(π)+DEF(K) denotes the subsystem of IE*2 obtained if we allow only two new functions symbols π,K, corresponding to the well-known functions π(χ)=number of primes<=χ, Κ(χ) = Σο <=n<=χlogn. In chapter 3 we prove, using arithmetization of the technique of tableau proofs, a theorem concerning end extensions of models of ΒΣ1+exp cofinal with ω, which was first proved by Ζ. Adamowicz by means of model-theoretic methods.
(EN)
Πανεπιστήμιο Κρήτης
