Από τη θεωρία μέτρου γνωρίζουμε τι θεώρημα του Steinhaus για μια ιδιότητα των σύνολων θετικού μέτρου: αν το σύνολο A ⊆ R έχει θετικό μέτρο τότε το A − A περιέχει μια περιοχή του μηδενός. Παρόλο που το θεώρημα αυτό είναι σχετικά απλό στην διατύπωση και την απόδειξη του, η γενίκευση του στις ανώτερες διαστάσεις έχει αποδειχτεί ενα από τα πιο σύγχρονα και δύσκολα προβλήματα της γεωμετρικής θεωρίας μέτρου, το λεγόμενο "Falconer’s distance set conjecture" το οποίο δια τυπώνεται ως εξής. Έστω Α ένα υποσύνολο του R2. Αν το Α έχει διάσταση Hausdorff μεγαλύτερη της μονάδας τότε το σύνολο αποστάσεων του, ΔA = {|x− y| : x ∈ A, y ∈ A} έχει θετικό μέτρο Lebesgue. O Pertti Mattila πρώτος χρησιμοποίησε προχωρημένες τεχνικές αρμονικής ανάλυσης και γεωμετρικής θεωρίας μέτρου για την επίλυση του προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα ξεκίνησε από την εξής παρατήρηση. Έστω ένα μέτρο μ με φορέα που περιέχεται στο Α και νμ(B) η προώθηση αυτού του μέτρου: νμ(B) = μ x μ {(x, y) : |x−y| ∈ B} ,B ⊂ R, B Borel σύνολο. Τότε αν ο μετασχηματσιμός Fourier του νμ είναι στον L2 συνεπάγεται ότι |Δ(E)|>0. Η τεχνική που ανέπτυξε ο Mattila περιέχει εκτιμήσεις σφαιρικών μέσων μετασχηματισμού Fourier μέτρων. Το θεώρημα που θα αναλυθεί παρακάτω δίνει εκτίμηση κυκλικών μέσων μετασχηματισμού Fourier μέτρων, οφείλεται στον Thomas Wolff και είναι το καλύτερο αποτέλεσμα για την "distance set conjecture" στο επίπεδο, που υπάρχει μέχρι σήμερα.
(EL)
From measure theory we know the Steinhaus theorem for a property all sets with positive lebesgue measure have: if A ⊆ R with positive measure then the set A − A contains a neighborhood centered on 0. In spite of the theorem being relative easy to prove, it’s analog in greater dimensions consists one of the most difficult and modern problems in geometric measure theory, the wellknown "Falconer’s distance set conjecture" which is formulated as follows. Let A be a subset of R2. If A has Hausdorff dimension greater than 1, then it’s distance set, ΔA = {|x− y| : x ∈ A, y ∈ A} has positive Lebesgue measure. Pertti Mattila first used advanced harmonic analysis and geometric measure theory techniques in order to solve the problem. More specific he started from the following observation. Let μ be a measure supported in A and νμ(B) it’s pushforward measure, supported in |ΔA|: νμ(B) = μ x μ {(x, y) : |x−y| ∈ B} ,B ⊂ R, B Borel set. Then if the Fourier transform of νμ is an L2 function, |Δ(E)| must have positive Lebesgue measure. The technique developed by Mattila involves estimating spherical averages of Fourier transform of measures. Here we will analyze a theorem which gives an estimate for circular averages of Fourier transform of measures, is due to Thomas Wolff and so far is the best known result for the distance set conjecture in the plane.
(EN)
University of Crete
