Σε αυτή την εργασία παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των P.W. Bates και J. Xun για τα μεταευσταθή πρότυπα στην εξίσωση Cahn-Hilliard. Το κύριο εργαλείο που χρησιμοποιείται για τη μελέτη της δυναμικής των προτύπων είναι η αναλλοίωτη πολλαπλότητα. Η αναλλοίωτη πολλαπλότητα, η οποία δημιουργήθηκε και προτάθηκε από τους J. Carr και R.L. Pego για τη μελέτη των μεταευσταθών προτύπων της εξίσωσης αντίδρασης διάχυσης, προσεγγίζει το χώρο φάσεων της εξίσωσης αντίδρασης διάχυσης. Στην παρούσα εργασία τα ίδια αποτελέσματα αποδεικνύονται για την εξίσωση Cahn-Hilliard. Πιο συγκεκριμένα, εαν μια λύση της εξίσωσης Cahn-Hilliard σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι αρκετά κοντά σε ένα σημείο της αναλλοίωτης πολλαπλότητας, τότε από εκείνη τη χρονική στιγμή και μετά παραμένει κοντά στην αναλλοίωτη πολλαπλότητα. Για την απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, εκτιμώνται οι ιδιοτιμές του τελεστή της εξίσωσης Cahn-Hilliard στην ολοκληρωτική του μορφή. Επιπλέον παράγεται ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τη δυναμική της εξίσωσης πάνω στην πολλαπλότητα. Τέλος παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα σχετικά με την στοχαστική εξίσωση Cahn-Hilliard.
Όλα τα αποτελέσματα έχουν παραχθεί με χρήση της ολοκληρωτικής μορφής της εξίσωσης Cahn-Hilliard. Ο λόγος είναι η αξιοποίηση της ιδιότητας της αυτοσυζυγίας του τελεστή της ολοκληρωτικής μορφής της εξίσωσης Cahn-Hilliard, που χρησιμοποιείται στις αποδείξεις.
(EL)
University of Crete
