Τα σολιτόνια είναι μη γραμμικά κύματα στα οποία η λύση τους είναι ένας μοναχικός παλμός που διαδίδεται σε ένα μέσο, χωρίς να μεταβάλει την ταχύτητα και την μορφή του, ακόμη και με αλληλεπιδράσεις με άλλα σολιτόνια. Κύριοι στόχοι της παρούσας Διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των σημαντικότερων μη γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) για τη μελέτη του φαινόμενου των σολιτονίων.Αρχικά, γίνεται μια εισαγωγή στις εξισώσεις των σολιτονίων ξεκινώντας με ένα σύνολο συνδεδεμένων ταλαντωτών, και καταλήγοντας στη περιοχή διαφάνειας στην οποία η λύση θα είναι ένα κύμα. Επίσης, γίνεται μια αρχική ανάλυση των εξισώσεων sine-Gordon και KdV, οι οποίες έχουν μη γραμμικούς όρους και οι λύσεις τους είναι σε μορφή σολιτονίων.Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύονται οι κυριότερες μη γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (Burgers, sine-Gordon, KdV), όπου βρίσκουμε την αναλυτική λύση της πλήρης εξίσωσης Burgers, τις λύσεις για το μοναχικό κύμα (ραίβη-αντιραίβη) της sine-Gordon, την αναλυτική λύση καθώς επίσης και την αλληλεπίδραση μεταξύ δύο σολιτονίων της εξίσωσης KdV.Το τελευταίο κεφάλαιο περιλαμβάνει τη μη γραμμική ΜΔΕ του Schrödinger. Αρχικά, αναφέρεται η χρησιμότητα της συγκεκριμένης εξίσωσης για να περιγράψει εξαιρετικά μικρά σολιτόνια. Στη συνέχεια δίνεται ολοκληρωμένη η αναλυτική επίλυση του σολιτονίου της εξίσωσης αυτής και τέλος γίνεται η μελέτη για τον εντοπισμό της ενέργειας για την αστάθεια διαμόρφωσης.Φυσικά, οι κώδικες και τα σχήματα της συγκεκριμένης εργασίας προέκυψαν με τη βοήθεια του υπολογιστικού προγράμματος λογισμικού Mathematica.
Solitons are nonlinear waves (solitary pulses) that while they are propagating through a transmission medium they maintain their speed and shape even in case they interact with other solitons. Therefore, the main purpose of this thesis is to study some of the most significant nonlinear Partial Differential Equations (PDE) in order to finally use them in studying the solitons phenomenon.Initially, an introduction about the equations concerning solitons is presented starting with a set of connected oscillators and concluding to the transparency area for which the solution is a wave. Thereinafter, an initial analysis of the sine-Gordon and KDV equations takes place emphasizing in the fact that these equations have nonlinear terms and their solutions are in the form of solitons.In chapter two, main nonlinear Partial Differential Equations like Burgers, sine-Gordon and KDV are analyzed. More specifically, an analytic solution of the full Burger equation is given, solutions about the solitary wave (kink-antikink) of sine-Gordon equation follows and finally the analytic solution along with the interaction between two solitons of the KDV equation are presented.Last chapter includes an analysis of the Schrödinger nonlinear PDE. Firstly the usefulness of the former equation in describing extremely small solitons is highlited and afterwards, the integrated analytic solution of the soliton of the same equation is given. Finally a study concerning the identification of energy about modulational instability takes place.Of course the codes and shapes of this thesis, stemmed from the aid of Mathematica software.
