Η παρουσα διπλωματική εργασία αποτελεί την καταγραφή μιας βιβλιογραφικής έρευνας που έγινε με τελικό σκοπό να προσεγγίσουμε πεδία της επιστήμης των Μαθηματικών και πιο συγκεκριμένα των Πιθανοτήτων,όπως η Θεωρία της Γενικής Στοχαστικής Ολοκλήρωσης και η Θεωρία των Μεγάλων Αποκλίσεων.Σε κάθε περίπτωση χρησιμοποιούμε σαν βασικό μας οδηγό το βιβλίο του Olav Kallenberg 'Foundations of Modern Probability'.
Στο πρώτο κεφάλαιο ασχολούμαστε με το να προσδιορίσουμε αρχικά τι είναι μετρικός χώρος,τοπολογία μετρικού χώρου,ενδεχόμενα Kolmogorov, επίσης βλέπουμε και ποίες είναι οι σ-άλγεβρες και η άλγεβρα Borel.Γίνεται επίσης αναφορά στις ιδιότητες της δεσμευμένης μέσης τιμής .Οι διαδίκασιες Martingale μας απασχολούν πριν κλείσουμε το κεφάλαιο.Ορίζουμε τι είναι μια Martingale και τις ιδιότητες της,περνάμε στο θεώρημα Doob περι σύγκλισης Martingale,και γινεται εκτενης αναφορα στις αλυσέδες Markov και στην Κίνηση Brown.
Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση της θεωρίας της Γενικής Στοχαστικής Ολοκλήρωσης και περνάμε στο Ολοκλήρωμα Ito,οπως επίσης και το πως αυτό λειτουργεί σε χώρους Hilbert.Αναλύουμε το θεώρημα αναπαράστασης για να δολυμε τελικά πως γίνεται Ολοκλήρωση πάνω σε οποιαδήποτε Martingale.
Θέλοντας να προσεγγίσουμε σπάνια ενδεχόμενα σε ένα δεδομένο πιθανοθεωρητικό χώρο μελετάμε τη Θεωρία Μεγάλων Αποκλίσεων στο τελευταίο κεφάλαιο.Έτσι μέσα απο μια σειρά Θεωρημάτων όπως αυτά του Cramer των Schindler,Varadhan ή το Θεώρημα Friendlin-Wentzell και την εξέταση φαινομένων όπως αυτό της εντροπίας καταλήγουμε σε κάποια γενικά συμπεράσματα.
University of the Aegena
