Σε αυτή την εργασία θα παρουσιάσουμε μια προσέγγιση γεωμετρικού χαρακτήρα, η οποία οδηγει σε μια πιο ποιοτική κατανόηση της συμπεριφοράς των λύσεων και όχι σε λεπτομερείς ποσοτικές πληροφορίες. Τα ερωτήματα που θα εξετάσουμε λοιπόν, σχετίζονται με την ιδέα της ευστάθειας μιας λύσης και οι μέθοδοι που θα χρησιμοποιήσουμε είναι βασικά γεωμετρικές. Αρχικά, θα ταξινομήσουμε γεωμετρικά τις διάφορες συμπεριφορές των λύσεων της x'=Ax. Στην συνέχεια, θα προσδιορίσουμε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας με την αρχή της γραμμικοποίησης, η οποία σε κάποιες περιπτώσεις δεν δίνει κάποιο αποτέλεσμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αλλά και στις υπόλοιπες, γίνεται εφαρμογή της δεύτερης μεθόδου του Lyapunov, η οποία προσεγγίζει διαφορετικά το πρόβλημα της ευστάθειας, αφού δεν απαιτείται γνώση της λύσης του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων. Τα αποτελέσματα σχετικά με την ευστάθεια ή αστάθεια ενος σημείου ισορροπίας προκύπτουν από την κατασκευή μιας κατάλληλης βοηθητικής συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο θα εξετάσουμε την ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων του συστήματος Lotka-Volterra. Τέλος, θα αναφερθούμε στο κύριο αποτέλεσμα αυτής της εργασίας, δηλαδή την αρχή αναλλοίωτου του Lasalle, το οποίο περιγράφει με λεπτομέρεια τις απαραίτητες συνθήκες για την σύγκλιση σε ένα σημείο ισορροπίας και θα εφαρμόσουμε αυτό το θεώρημα στο παράδειγμα του μη γραμμικού εκκρεμούς.
University of the Aegena
