Τα χαοτικά δυναμικά συστήματα αποτελούν πεδίο εντατικής έρευνας πολλών επιστημονικών γνωστικών περιοχών. Μόνο τις τελευταίες δεκαετίες κατέστη δυνατή η ενοποίηση των τεχνικών, των θεωρητικών και πρακτικών μεθόδων (σε επίπεδο λήψης πειραματικών δεδομένων και προγραμματισμού), ώστε φαι- νομενικά ασύνδετα μεταξύ τους πεδία να βρουν κοινούς τόπους συνεννόησης και να γεννηθεί η Επιστήμη του Χάους. Η λέξη «χάος» προκύπτει από το ρήμα χαίω που υπονοεί την ρευστή κατά- σταση. Η προσέγγιση του χάους ξεκίνησε ήδη από την αρχαιότητα. Ο Ησίο- δος, στο μυθολογικό του έργο «Θεογονία», παρουσιάζει το Χάος ως μέλος της πρωταρχικής τριάδας από την οποία γεννήθηκαν οι θεοί της μυθολογίας. Στο βιβλίο «Γένεση» της Παλαιάς Διαθήκης αναφέρεται ότι «η Γη ην αόρατος και ακατασκεύαστος και σκότος εφέρετο υπεράνω της αβύσσου». ́Οσον αφορά στη φιλοσοφική προσέγγιση του χάους, ισχύει ότι το χάος δεν είναι χαοτικό! Ο δε άνθρωπος είναι ένα «καλώς εννοούμενο» χάος. Το χάος αποτελεί έναν «χώρο» ανθρώπινης δημιουργίας που νοηματοδοτεί τη ζωή μας. Κατ ́ επέκταση, αυτή η δημιουργία επεκτείνεται και στην ίδια την ανθρώπινη ύπαρξη, στο πλαίσιο της οποίας δημιουργούμε ακατάπαυστα τον εαυτό μας καθ ́ όλη τη διάρκεια του βίου μας. Οι αρχαίοι ́Ελληνες φιλόσοφοι με την τότε αποκάλυψη της έννοιας «Χάος» θέτουν στο σύγχρονο άνθρωπο το τραγικό ερώτημα: Μήπως ο Θεός παίζει ζάρια, μήπως παίζει ένα βαθύτερο παιχνίδι που δεν έχουμε ακόμη κατανοή- σει, μήπως τελικά ο άνθρωπος είναι τα «ζάρια» στα χέρια ενός ακαταμάχητου «Θεού»; Κάτι που αρνήθηκε βέβαια ο Einstein να δεχθεί, όπως τόνισε στην πολύκροτη επιστολή του προς τον Max Born για την πιθανοκρατική εξήγηση του Κβαντικού Κόσμου. Στην παρούσα εργασία βέβαια θα μας απασχολήσει η μαθηματική θεωρία ου χάους και κυρίως στον τρισδιάστατο χώρο. Το μαθηματικό χάος (ή ντε- τερμινιστικό χάος) είναι η αδυναμία ακριβούς πρόβλεψης της μελλοντικής συ- μπεριφοράς αιτιοκρατικών (ή ντετερμινιστικών) συστημάτων, για τις διάφορες αρχικές συνθήκες των συστημάτων αυτών. Πιο συγκεκριμένα, η Επιστήμη των Δυναμικών Συστημάτων και του Χάους μελετά τη συμπεριφορά μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων, τα οποία κάτω από ορισμένες συνθήκες παρουσιάζουν ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. Η ευαισθησία αυτή έχει ως αποτέλεσμα τη φαινομενική τυχαιότητα της παρατηρούμενης συμπεριφοράς των συστημάτων και την αδυναμία πρόβλεψης, παρόλο που τα συστήματα αυτά εί- ναι αιτιοκρατικά (ντετερμινιστικά), με την έννοια ότι είναι καλώς ορισμένοι οι νόμοι εξέλιξής τους και δεν περιέχουν τυχαίες παραμέτρους. ́Ενα παράδειγμα χαοτικής συμπεριφοράς αποτελεί η αδυναμία ακριβούς μελλοντικής πρόβλεψης των χρηματιστηριακών τιμών. ́Οπως αναφέραμε, το χάος άρχισε να μελετάται τα τελευταία κυρίως χρόνια, με θεμελιωτή του τον Γάλλο μαθηματικό και αστρονόμο Henri Poincare (29 Απριλίου 1854 - 17 Ιουλίου 1912). Στα τέλη του 19ου αιώνα, έκανε μια ανα- κάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα θεμέλια της Νευτώνειας μηχανικής, και να συντελέσει στη γέννηση της επιστήμης του χάους. Ο Poincare , απέδειξε ότι δεν είναι δυνατό να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων ( Peterson , 1993), μολονότι είναι ντετερμινιστικά προκαθορισμένη και περιγράφεται πλήρως από μαθηματικές εξισώσεις. Το πρόβλημα των τριών σωμάτων, η πρόβλεψη της τροχιάς τους δηλαδή, ήταν και παραμένει άλυτο. Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα και μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος και μάλιστα χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικών υπολο- γιστών, οι οποίοι δεν είχαν ανακαλυφθεί την εποχή εκείνη. Χρειάστηκε να περάσουν περίπου 80 χρόνια για να γίνει κατανοητή πλήρως από την επιστη- μονική κοινότητα η σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης. Αυτό συνέβη και με τον επόμενο μεγάλο σταθμό στην ανάπτυξη της επιστήμης του χάους, την ανακάλυψη του πρώτου χαοτικού ελκυστή και της χαοτικής κίνησης από το μετεωρολόγο Edward Lorenz (16 Αυγούστου 1888 - 19 Μαΐου 1935). Τη δεκαετία του 1960 στο MIT ο Edward Lorenz ανακάλυψε την αδυνα- μία για μακροπρόθεσμη πρόβλεψη στα ντετερμινιστικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούσαν την εξέλιξη του καιρού. Ο Lorenz όταν με- λετούσε, μέσω αριθμητικής επίλυσης σε υπολογιστή, ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που προσομοίωνε τα καιρικά φαινόμενα ενός εξιδανικευμένου, α- πλουστευμένου μοντέλου «ατμόσφαιρας», παρατήρησε -σχεδόν τυχαία- ότι όταν εισήγαγε στον υπολογιστή του τις τιμές του προγράμματος από μια προηγού- μενη εκτέλεση και «έτρεχε» ξανά το πρόγραμμα, τα αποτελέσματα απέκλιναν σημαντικά με την πάροδο του χρόνου από τα προηγούμενα, ώσπου, μετά από έναν «χρονικό ορίζοντα» δεν είχαν πρακτικά καμιά ομοιότητα. Δεδομένου ότι το πρόγραμμα ήταν ντετερμινιστικό (η ίδια είσοδος έδινε πάντα την ίδια έξοδο, αποκλείοντας φυσικά τις μηχανικές βλάβες), η απόκλιση των αποτελεσμάτων οφειλόταν στο γεγονός ότι τα νούμερα που ξανα-εισήγαγε «με το χέρι» είχαν μικρότερη ακρίβεια (λιγότερα δεκαδικά ψηφία) από εκείνα που εσωτερικά απο- θήκευε ο υπολογιστής. Ο Lorenz συμπέρανε ότι στο συγκεκριμένο μοντέλο και η ελάχιστη ακόμη έλλειψη ακρίβειας είναι καθοριστική - κάτι που αργότε- ρα αποκαλύφθηκε ότι αποτελεί γενικό χαρακτηριστικό μιας ολόκληρης κλάσης συστημάτων, των λεγόμενων χαοτικών. Εξίσου μεγάλοι επιστήμονες που ασχολήθηκαν με την χαοτική θεωρία και ε- πιστήμη, παρατηρώντας την από άλλες σκοπιές βέβαια, ήταν ο Αυστρο-Αμερικανός επιστήμονας της λογικής, μαθηματικός και φιλόσοφος Kurt G ̈odel (28 Απριλί- ου 1906 - 14 Ιανουαρίου 1978), ο οποίος διατύπωσε το σπουδαίο θεώρημα της μη πληρότητας και ο Albert Einstein (14 Μαρτίου 1879 - 18 Απριλίου 1955) Γερμανός φυσικός εβραϊκής καταγωγής, ο οποίος βραβεύτηκε με το Νόμπελ Φυσικής το 1921 για τις υπηρεσίες του στην θεωρητική φυσική, ο οποίος είναι και ο θεμελιωτής της Θεωρίας της Σχετικότητας. Σύγχρονους «πατέρες» της θεωρίας του Χάους θα μπορούσαμε να θεωρή- σουμε τους Morris W. Hirsch, University of California, Berkeley, Stephen Smale, University of California, Berkeley του οποίου η απεικόνιση αποτέλεσε ένα από τα σπουδαιότερα εργαλεία στα ομοκλινικά φαινόμενα, και Robert L. Devaney, Boston University . Το βιβλίο τους « Differential Equations, Dyna- mical Systems, And An Introduction To Chaos, 2rd Edition, Elsevier Aca- demic Press, Amsterdam Boston Heidelberg London New York Oxford Paris San Diego San Francisco Singapore Sydney Tokyo, 2004 » αποτέλεσε και την κύρια πηγή άντλησης δεδομένων για την παρούσα εργασία. Επίσης στους σύγ- χρονους μελετητές κατατάσσεται και ο Benoˆıt Mandelbrot (20 Νοεμβρίου 1924 - 14 Οκτωβρίου 2010),ο οποίος είναι Γαλλο-Αμερικανός μαθηματικός γνωστός από την ενασχόληση του με την «τέχνη της τραχύτητας» και της μορφοκλα- σματικής γεωμετρίας, της γεωμετρίας των φράκταλ (αυτο-ομοιότητα). Τέλος, το σπουδαίας σημασίας θεώρημα του Ρώσου μαθηματικού Leonid P. Shilnikov (17 Δεκεμβρίου 1934 - 26 Δεκεμβρίου 2011) τον κατατάσσει και εκείνον στην χορεία των επιστημόνων που μελέτησαν την επιστήμη του χάους. Ειδικότερα, το Θεώρημα Shilnikov έγινε η καρδιά της εργασίας αυτής. Το θε- ώρημα αυτό είναι ένα από τα βασικά σύγχρονα αποτελέσματα που προβλέπουν χαοτική συμπεριφορά για συστήματα διαφορικών εξισώσεων στο R 3 . Το ε- ντυπωσιακό χαρακτηριστικό της θεωρίας είναι ότι εξασφαλίζει την ύπαρξη της χαοτικής συμπεριφοράς, κάτω από απλούστατες συνθήκες. Στο υπόβαθρό της όμως, εμπλέκονται πλούσιες μαθηματικές θεωρίες από την περιοχή των διαφο- ρικών εξισώσεων και των δυναμικών συστημάτων, κάποια στοιχεία των οποίων επιχειρήσαμε συνοπτικά να περιγράψουμε. Η διάρθρωση της εργασίας έχει ως εξής: Στο πρώτο κεφαλαιο, θα αναφερθούμε σε στοιχειώδη χαρακτηριστικά της δυναμικής ειδικών περιπτώσεων από τα γραμμικά συστήματα στο R 3 , που σχετίζονται άμεσα με την θεωρία Shi- l’nikov . Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναφερόμαστε σε κάποια βασικά στοιχεία της θεωρίας δισδιάτατων απεικονίσεων. Στο τρίτο κεφάλαιο, θα περιγράψουμε την θεωρία Shil’nikov . Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο, δίνουμε κάποια αποτελέσματα αριθμητικών εξομοιώσεων, για ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα συστήματος που επιδεικνύει την συμπεριφορά που υποδεικνύει η θεωρία, το σύστημα R ̈ossler .
