Στη διπλωματική αυτή εργασία παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες της Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων, καταλήγοντας πιο συγκεκριμένα στην μελέτη των υπερβολικών ομάδων. Η Γεωμετρική Θεωρία Ομάδων μελετά πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες συνδέοντας τις αλγεβρικές τους ιδιότητες με γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες στους χώρους στους οποίους αυτές δρουν. Συνεπώς για την μελέτη αυτή θα χρησιμοποιήσουμε εργαλεία από τη γεωμετρία, την συνδιαστική και την τοπολογία. Αφού αρχικά αναπτύξουμε ένα κατάλληλο υπόβαθρο παρουσιάζοντας θεμελιώδεις έννοιες όπως αυτές της δράσης, των Cayley γραφημάτων, της ελεύθερης ομάδας και άλλων, θα ασχοληθούμε πιο συγκεκριμένα με τη Θεωρία Bass-Serre. Μέσω αυτής της Θεωρίας λαμβάνουμε αλγεβρικές πληροφορίες για τις ομάδες μελετώντας τη δράση τους σε δέντρα. Επιπλέον η Bass-Serre Θεωρία μας δίνει μία «φυσική» εξήγηση για πολλά αποτελέσματα που αφορούν τις ελεύθερες ομάδες. Κατόπιν θα μελετήσουμε τις υπερβολικές ομάδες, μία έννοια που εισήγαγε ο Mikhail Gromov συνδέοντας την έννοια του Cayley γραφήματος μίας ομάδας και των υπερβολικών μετρικών χώρων.
