A new method for the computation of the zeros of analytic functions
Μια νέα μέθοδος για τον υπολογισμό των ριζών αναλυτικών συναρτήσεων
Anastasselou, Eleni
Ioakimidis, Nikolaos
Αναστασέλου, Ελένη
Ιωακειμίδης, Νικόλαος
Προτείνεται μια νέα μέθοδος για τον υπολογισμό των ριζών αναλυτικών συναρτήσεων (ή των πόλων μερόμορφων συναρτήσεων) μέσα σε μια κλειστή καμπύλη C ή έξω από αυτήν. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy (σε γενικευμένες μορφές του) και οδηγεί σε τύπους κλειστής μορφής για τις ρίζες (ή τους πόλους), αν αυτές (αυτοί) δεν είναι πάνω από τέσσερις. Γενικά, για m ρίζες (ή πόλους) αυτές (αυτοί) μπορούν να υπολογισθούν σαν οι ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού m. Σε όλες τις περιπτώσεις πρέπει να υπολογισθούν αριθμητικά μιγαδικά επικαμπύλια ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας κατάλληλους κανόνες αριθμητικής ολοκληρώσεως. Για την εφαρμογή της μεθόδου προτείνονται αρκετοί πρακτικοί αλγόριθμοι και η μέθοδος των Abd-Elall, Delves και Reid ξαναβρίσκεται με δύο διαφορετικές μεθόδους σαν ένας από αυτούς τους αλγόριθμους. Γίνεται επίσης αριθμητική εφαρμογή σε μια υπερβατική εξίσωση που παρουσιάζεται στη θεωρία της επιβράδυνσης νετρονίων και εύκολα προκύπτουν αριθμητικά αποτελέσματα μεγάλης ακρίβειας.
A new method for the computation of the zeros of analytic functions (or the poles of meromorphic functions) inside or outside a closed contour C in the complex plane is proposed. This method is based on the Cauchy integral formula (in generalized forms) and leads to closed-form formulae for the zeros (or the poles) if they are no more than four. In general, for m zeros (or poles) these can be evaluated as the zeros of a polynomial of degree m. In all cases, complex contour integrals have to be evaluated numerically by using appropriate numerical integration rules. Several practical algorithms for the implementation of the method are proposed and the method of Abd-Elall, Delves and Reid is rederived by two different approaches as one of these algorithms. A numerical application to a transcendental equation appearing in the theory of neutron moderation is also made and numerical results of high accuracy are easily obtained.
