Application of quantifier elimination to inverse free vibration problems for inhomogeneous beams and bars

Εφαρμογή της απαλοιφής ποσοδεικτών σε αντίστροφα προβλήματα ελεύθερων ταλαντώσεων για μη ομογενείς δοκούς και ράβδους (EL)

Application of quantifier elimination to inverse free vibration problems for inhomogeneous beams and bars (EL)

Ioakimidis, Nikolaos

Ιωακειμίδης, Νικόλαος

Technical Report (EL)

2018-06-14

2018-06-15T08:43:17Z

Inverse free vibration problems for inhomogeneous beams under various boundary conditions were extensively studied by Elishakoff and his collaborators during the last two decades. In these problems, the linear mass density of the beam is assumed to have a polynomial form known in advance. Moreover, the mode shape of the beam is also assumed to have a simple polynomial form known in advance and, evidently, satisfying the four boundary conditions at the ends of the beam. Then, on the basis of the related ordinary differential equation, it is possible to determine the unknown flexural rigidity of the beam, which, naturally, should also have a polynomial form. Obviously, the linear mass density is selected to be a continuously positive function, but the same should also happen for the initially unknown flexural rigidity. The latter positivity requirement is the subject of the present results. This positivity is assured by determining the related necessary and sufficient positivity conditions on the whole vibrating beam by using the modern computational method of quantifier elimination, which is mainly based on the Collins cylindrical algebraic decomposition algorithm. Here the implementation of quantifier elimination in the computer algebra system Mathematica is used as the computational tool for the derivation of the present conditions, which leads to the elimination of the universal quantifier in the positivity condition and constitutes the equivalent quantifier-free formula. At first, the simple inverse vibration problem of a clamped beam is studied with respect to the aforementioned positivity requirement. Next, the inverse vibration problem of a beam clamped at one end and simply-supported at the other end is also studied. The resulting positivity conditions for the flexural rigidity of the beam are rather simple only for one or two parameters in the linear mass density of the beam, but they become sufficiently complicated for three parameters. An inverse problem of free axial vibrations of inhomogeneous bars is also studied in brief. The present computational approach constitutes a simple, efficient and mathematically rigorous way for the derivation of positivity conditions in inverse free vibration problems for the flexural/longitudinal rigidities of beams/bars. On the other hand, it constitutes an extension of previous recent quantifier elimination results concerning the related inverse buckling problem, where the same computational approach, that of quantifier elimination, was also successfully used. (EL)

Αντίστροφα προβλήματα ελεύθερων ταλαντώσεων για μη ομογενείς δοκούς υπό ποικίλες συνοριακές συνθήκες μελετήθηκαν εκτενώς από τον Elishakoff και τους συνεργάτες του κατά τη διάρκεια των δύο τελευταίων δεκαετιών. Στα προβλήματα αυτά η γραμμική πυκνότητα μάζας της δοκού υποτίθεται ότι έχει πολυωνυμική μορφή γνωστή εκ των προτέρων. Επιπλέον, η ιδιομορφή της δοκού υποτίθεται επίσης ότι έχει απλή πολυωνυμική μορφή γνωστή εκ των προτέρων και, προφανώς, που ικανοποιεί τις τέσσερις συνοριακές συνθήκες στα άκρα της δοκού. Τότε με βάση τη σχετική συνήθη διαφορική εξίσωση είναι δυνατόν να προσδιορισθεί η άγνωστη καμπτική δυσκαμψία της δοκού, που φυσικά πρέπει επίσης να έχει πολυωνυμική μορφή. Προφανώς, η γραμμική πυκνότητα μάζας επιλέγεται να είναι συνεχώς θετική συνάρτηση, αλλά το ίδιο πρέπει επίσης να συμβαίνει για την αρχικά άγνωστη καμπτική δυσκαμψία. Η τελευταία απαίτηση θετικότητας είναι το θέμα των παρόντων αποτελεσμάτων. Η θετικότητα αυτή εξασφαλίζεται προσδιορίζοντας τις σχετικές αναγκαίες και ικανές συνθήκες θετικότητας σε ολόκληρη την ταλαντούμενη δοκό χρησιμοποιώντας τη μοντέρνα υπολογιστική μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών, που βασίζεται κυρίως στον αλγόριθμο της κυλινδρικής αλγεβρικής αναλύσεως του Collins. Εδώ χρησιμοποιείται σαν το υπολογιστικό εργαλείο για την εύρεση των παρουσών συνθηκών η υλοποίηση της απαλοιφής ποσοδεικτών στο σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica, που οδηγεί στην απαλοιφή του καθολικού ποσοδείκτη στη συνθήκη θετικότητας και αποτελεί τον ισοδύναμο τύπο χωρίς ποσοδείκτες. Καταρχήν μελετάται το απλό αντίστροφο πρόβλημα ταλαντώσεων πακτωμένης δοκού σε σχέση με την προαναφερθείσα απαίτηση θετικότητας. Στη συνέχεια μελετάται επίσης το αντίστροφο πρόβλημα ταλαντώσεων δοκού με πάκτωση στο ένα άκρο και άρθρωση (απλή στήριξη) στο άλλο άκρο. Οι συνθήκες θετικότητας που προκύπτουν για την καμπτική δυσκαμψία της δοκού είναι μάλλον απλές μόνο για μία ή δύο παραμέτρους στη γραμμική πυκνότητα μάζας της δοκού, αλλά γίνονται αρκετά πολύπλοκες για τρεις παραμέτρους. Μελετάται επίσης σύντομα ένα αντίστροφο πρόβλημα ελεύθερων αξονικών ταλαντώσεων μη ομογενούς ράβδου. Η παρούσα υπολογιστική μέθοδος αποτελεί έναν απλό, αποτελεσματικό και μαθηματικά αυστηρό τρόπο για την εύρεση συνθηκών θετικότητας σε αντίστροφα προβλήματα ελεύθερων ταλαντώσεων για τις καμπτικές δυσκαμψίες/δυστένειες δοκών/ράβδων. Αφετέρου αποτελεί επέκταση προηγούμενων πρόσφατων αποτελεσμάτων απαλοιφής ποσοδεικτών που αφορούν στο σχετικό αντίστροφο πρόβλημα λυγισμού, όπου η ίδια υπολογιστική μέθοδος, αυτή της απαλοιφής ποσοδεικτών, χρησιμοποιήθηκε επίσης επιτυχώς. (EL)

Longitudinal rigidity (EL)

Linear mass density (EL)

Δυστένεια (EL)

Deflection (EL)

Μη ομογενείς δοκοί (EL)

Πακτωμένες δοκοί (EL)

Ελαστικοί περιορισμοί (EL)

Ανισοτικοί περιορισμοί (EL)

Positivity conditions (EL)

Γραμμική πυκνότητα μάζας (EL)

Τύποι με ποσοδείκτες (EL)

Μη ομογενείς ράβδοι (EL)

Συνθήκες θετικότητας (EL)

Universal quantifier (EL)

Inequality constraints (EL)

Quantified formulae (EL)

Quantifier-free formulae (EL)

Free vibrations (EL)

Mathematica (EL)

Απαλοιφή ποσοδεικτών (EL)

Βέλος κάμψεως (EL)

Computer algebra (EL)

Καθολικός ποσοδείκτης (EL)

Flexural rigidity (EL)

Symbolic computations (EL)

Δοκοί με πάκτωση–άρθρωση (EL)

Elastic restraints (EL)

Συμβολικοί υπολογισμοί (EL)

Mode shape (EL)

Υπολογιστική άλγεβρα (EL)

Τύποι χωρίς ποσοδείκτες (EL)

Clamped beams (EL)

Inhomogeneous bars (EL)

Quantifier elimination (EL)

Vibration problems (EL)

Cylindrical algebraic decomposition (EL)

Inverse problems (EL)

Ελεύθερες ταλαντώσεις (EL)

Inhomogeneous beams (EL)

Κυλινδρική αλγεβρική ανάλυση (EL)

Αντίστροφα προβλήματα (EL)

Clamped–simply-supported beams (EL)

Καμπτική δυσκαμψία (EL)

Προβλήματα ταλαντώσεων (EL)

Αρμονικές ταλαντώσεις (EL)

Harmonic vibrations (EL)

Ιδιομορφή (EL)

Πανεπιστήμιο Πατρών

Νημερτής

Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

3. Tεχνικές Αναφορές | Technical Reports