1. Home page
  2. Search

Ακριβή διαστήματα για τις πραγματικές ρίζες της κλασικής παραμετρικής δευτεροβάθμιας εξισώσεως με ένα συντελεστή διαστήματος με τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών

This item is provided by the institution :
University of Patras   

Repository :
Nemertes   

see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*



Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination (EL)
Ακριβή διαστήματα για τις πραγματικές ρίζες της κλασικής παραμετρικής δευτεροβάθμιας εξισώσεως με ένα συντελεστή διαστήματος με τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών (EL)
Ioakimidis, Nikolaos
Ιωακειμίδης, Νικόλαος
Technical Report (EL)
2019-05-24T05:39:29Z
2019-04-19
The method of quantifier elimination constitutes an interesting rather recent computational method in computer algebra implemented in few computer algebra systems. Here we apply this method to the determination of sharp enclosures of the two real roots (when there exist such roots) of the classical parametric quadratic equation (in its complete form with three parameters) with one interval coefficient, which is here an interval parameter, whereas the remaining two coefficients are crisp (deterministic) parameters. The powerful computer algebra system Mathematica is used in all the present computations. The classical closed-form formulae for the above two roots are not required in the present quantifier-elimination-based approach: only the original quadratic equation is employed during quantifier elimination. All three cases of parametric coefficients in the quadratic equation are studied in detail and sharp enclosures of its roots are derived in parametric forms. The present results are also verified by using minimization and maximization commands directly on the closed-form formulae for these two roots. Several numerical applications now with numerical (instead of parametric) intervals for the interval coefficient are also made. The present results are seen to be in complete agreement with previous related original results by Elishakoff and Daphnis, who appropriately used classical interval analysis and based their results on the classical closed-form formulae for these roots. Finally, the enclosures of the roots derived by the present approach are always sharp without any possibility of overestimation contrary to what happens in the classical interval-analysis-based approach, where overestimation may be present in some cases. (EL)
Η μέθοδος της απαλοιφής ποσοδεικτών αποτελεί μια ενδιαφέρουσα μάλλον πρόσφατη υπολογιστική μέθοδο στην υπολογιστική άλγεβρα υλοποιημένη σε λίγα συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας. Εδώ εφαρμόζουμε αυτήν τη μέθοδο στον προσδιορισμό ακριβών διαστημάτων για τις δύο πραγματικές ρίζες (όταν υπάρχουν τέτοιες ρίζες) της κλασικής παραμετρικής δευτεροβάθμιας εξισώσεως (στην πλήρη μορφή της με τρεις παραμέτρους) με ένα συντελεστή διαστήματος, που είναι εδώ μια παράμετρος διαστήματος, ενώ οι υπόλοιποι δύο συντελεστές είναι σαφείς (προσδιορίσιμες) παράμετροι. Το ισχυρό σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica χρησιμοποιείται σε όλους τους παρόντες υπολογισμούς. Οι κλασικοί τύποι κλειστής μορφής για τις πιο πάνω δύο ρίζες δεν χρειάζονται στην παρούσα μέθοδο, που βασίζεται στην απαλοιφή ποσοδεικτών: μόνο η αρχική δευτεροβάθμια εξίσωση χρησιμοποιείται κατά τη διάρκεια της απαλοιφής ποσοδεικτών. Μελετώνται λεπτομερώς και οι τρεις περιπτώσεις παραμετρικών συντελεστών στη δευτεροβάθμια εξίσωση και βρίσκονται ακριβή διαστήματα για τις ρίζες της σε παραμετρικές μορφές. Τα παρόντα αποτελέσματα επαληθεύονται επίσης χρησιμοποιώντας εντολές ελαχιστοποιήσεως και μεγιστοποιήσεως κατευθείαν στους τύπους κλειστής μορφής γι' αυτές τις δύο ρίζες. Γίνονται επίσης αρκετές αριθμητικές εφαρμογές τώρα με αριθμητικά (αντί για παραμετρικά) διαστήματα για το συντελεστή διαστήματος. Διαπιστώνεται ότι τα παρόντα αποτελέσματα βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία με προηγούμενα σχετικά πρωτότυπα αποτελέσματα από τους Elishakoff and Daphnis, οι οποίοι χρησιμοποίησαν κατάλληλα την κλασική ανάλυση διαστημάτων και βάσισαν τα αποτελέσματά τους στους κλασικούς τύπους κλειστής μορφής γι' αυτές τις ρίζες. Τελικά, τα διαστήματα για τις ρίζες που βρίσκονται με την παρούσα μέθοδο είναι πάντα ακριβή χωρίς καμία δυνατότητα υπερεκτιμήσεως αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στην κλασική μέθοδο, που βασίζεται στην ανάλυση διαστημάτων, όπου μπορεί να παρουσιάζεται υπερεκτίμηση σε μερικές περιπτώσεις. (EL)
Intervals (EL)
Ranges (EL)
Προσδιορίσιμες μεταβλητές (EL)
Τύποι με ποσοδείκτες (EL)
Interval variables (EL)
Interval arithmetic (EL)
Quantified formulae (EL)
Διαστήματα (EL)
Interval analysis (EL)
Quantifier-free formulae (EL)
Δευτεροβάθμια εξίσωση (EL)
Ποσοδείκτες (EL)
Ελαχιστοποίηση (EL)
Πραγματικές ρίζες (EL)
Mathematica (EL)
Παράμετροι διαστήματος (EL)
Σαφείς μεταβλητές (EL)
Parametric equations (EL)
Απαλοιφή ποσοδεικτών (EL)
Computer algebra (EL)
Real roots (EL)
Symbolic computations (EL)
Μεταβλητές διαστήματος (EL)
Crisp variables (EL)
Maximization (EL)
Πεδία τιμών (EL)
Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας (EL)
Ακριβή διαστήματα (EL)
Συμβολικοί υπολογισμοί (EL)
Minimization (EL)
Τύποι χωρίς ποσοδείκτες (EL)
Υπολογιστική άλγεβρα (EL)
Ανάλυση διαστημάτων (EL)
Quadratic equation (EL)
Computer algebra systems (EL)
Interval coefficients (EL)
Quantifier elimination (EL)
Συντελεστές διαστήματος (EL)
Deterministic variables (EL)
Αριθμητική διαστημάτων (EL)
Quantifiers (EL)
Interval parameters (EL)
Μεγιστοποίηση (EL)
Sharp enclosures (EL)
Παραμετρικές εξισώσεις (EL)
University of Patras
Nemertes
Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)
3. Tεχνικές Αναφορές | Technical Reports



*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)