Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο τον προσδιορισμό της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας
(σππ) της απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση ενός συστήματος Στοχαστικών Διαφορικών
Εξισώσεων (ΣΔΕ) που υπόκειται σε διέγερση Γκαουσσιανού λευκού θορύβου, μέσω της
επίλυσης της αντίστοιχης στάσιμης εξίσωσης Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK). Η FPK είναι
μια Μερική Διαφορική Εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης ως προς την σππ της απόκρισης του
αντίστοιχου συστήματος ΣΔΕ. Όπως θα δειχθεί και στο κεφάλαιο 2, η ιδιαιτερότητα της FPK
είναι ότι ο διαφορικός της τελεστής είναι εκφυλισμένος στις περιπτώσεις ενδιαφερόντων
στοχαστικών συστημάτων, όπως ταλαντωτές ή Χαμιλτονιανά συστήματα.
Η ιδιαιτερότητα αυτή της FPK, μαζί με τους περιορισμούς της μη αρνητικότητας και του
πεπερασμένου ολοκληρώματος επί της λύσης της (καθώς είναι σππ), κάνει την διαδικασία
επίλυσης της FPK να διαφέρει ουσιωδώς από τις συνήθεις τεχνικές επίλυσης ΜΔΕ. Έτσι, στο
κεφάλαιο 3, οι βοηθητικές έννοιες του δυναμικού πυκνότητας πιθανότητας (δππ) και του
διανυσματικού πεδίου της ροής πιθανότητας χρησιμοποιούνται για την έκφραση της σππ της
απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση και της στάσιμης FPK αντίστοιχα: Με την χρήση του δππ
μέρος των περιορισμών επί της σππ ικανοποιούνται αυτομάτως, ενώ η στάσιμη FPK
αποδεικνύεται ότι αποτελεί για την ροή πιθανότητας μια συνθήκη ασυμπιεστότητας.
Έχοντας εκφράσει την στάσιμη FPK σαν μια συνθήκη ασυμπιεστότητας επί της ροής
πιθανότητας, στο κεφάλαιο 4 εξετάζουμε την ειδική περίπτωση στοχαστικών συστημάτων που
λύνονται υπό την παραδοχή μηδενικής ροής πιθανότητας. Η μονοδιάστατη περίπτωση (μόνο μια
ΣΔΕ) μελετάται εκτενώς στην παράγραφο 4.2, όπου διερευνάται και το ερώτημα αν επίσης
υπάρχουν λύσεις κάτω από μη μηδενική ροή πιθανότητας. Έπειτα, στην παράγραφο 4.5,
εξετάζεται η πολυδιάστατη περίπτωση για την οποία και αποδεικνύεται ότι, κάτω από μηδενική
ροή πιθανότητας, η στάσιμη FPK καταλήγει σε ένα πρόβλημα δυναμικού ως προς το δππ.
Καθώς η κλάση των στοχαστικών προβλημάτων με μηδενική ροή πιθανότητας φαίνεται αρκετά
περιοριστική, στο κεφάλαιο 5 μελετούμε συστήματα των οποίων η ροή πιθανότητας
κερματίζεται σε ένα κομμάτι μηδενικής ροής πιθανότητας, και σε ένα υπόλοιπο κομμάτι.
Ακολουθώντας την συνήθη πρακτική στην βιβλιογραφία, ο κερματισμός της ροής πιθανότητας
υλοποιείται με κερματισμό των συντελεστών που εμφανίζονται στην FPK, με τον κερματισμό
αυτό να υπαγορεύεται από το επιχείρημα της λεπτομερούς ισορροπίας (detailed balance), που
προέρχεται από την στατιστική μηχανική. Στην παρούσα εργασία, ο κερματισμός υλοποιείται με
έναν καινούργιο τρόπο, που αξιοποιεί το γεγονός ότι μερικές από τις εξισώσεις που
αντικαθιστούν την FPK μπορούν να ιδωθούν ως πρόβλημα δυναμικού ως προς το δππ. Έπειτα,
αυτή η μεθοδολογία εφαρμόζεται για στοχαστικούς ταλαντωτές και μια κλάση Χαμιλτονιανών
συστημάτων, αναπαράγοντας εν πρώτοις αποτελέσματα ήδη γνωστά από την βιβλιογραφία,
αλλά και γενικεύοντας μερικές κλάσεις στοχαστικών ταλαντωτών μέσω του προσδιορισμού μιας
σχέσης μεταξύ της διέγερσης και των δυνάμεων επαναφοράς και τριβής.
Τέλος στο κεφάλαιο 6, τα αποτελέσματα του κεφαλαίου 5 χρησιμοποιούνται ώστε να βρεθούν
ισοδύναμα στοχαστικά συστήματα, που έχουν την ίδια σππ απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση.
(EL)
Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες στην Οικονομία”
(EL)
The present work aims at determining the stationary response probability density of a system of
Stochastic Differential Equations (SDEs) under Gaussian white noise excitation by solving the
corresponding stationary (also called reduced) Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation. FPK
equation is a convection-diffusion Partial Differential Equation (PDE) with regard the response
probability density function of a corresponding SDEs system. As will be demonstrated in chapter
2 of the present work, the peculiarity of the FPK equation is that its differential operator is
degenerate for cases of interesting stochastic systems, such as oscillators or Hamiltonian
systems.
The aforementioned peculiarity of FPK equation, along with the constraints of non-negativity
and finite integral over its solution (since it has to be a probability density function), makes the
solution procedure for stationary FPK equation to differ substantially from the usual techniques
for PDEs. Thus, in chapter 3, the auxiliary notions of probability density potential and
probability flow vector field are employed to express the probability density function and the
stationary FPK equation respectively; Using the probability density potential, part of the
constraints over stationary response probability density are satisfied automatically, while
stationary FPK equation will be shown that it is an incompressibility condition over probability
flow vector field.
Having expressed the stationary FPK equation as an incompressibility condition over probability
flow, in chapter 4 we consider the special case of stochastic systems solved under the assumption
of zero probability flow. The one-dimensional case (only one SDE) is exhaustively studied in
paragraph 4.2, where it is investigated if solutions under non-zero probability flow also exist.
Then, in paragraph 4.5, the multidimensional case is examined, for which it is proven that, under
the zero probability flow assumption, the stationary FPK equation results in a potential problem
with regard to probability density potential.
Since the previously examined class of stochastic systems under zero probability flow seems
rather restrictive, in chapter 5 we investigate systems whose probability flow is split into a zero
probability flow part and a residual one. Following the common practice in literature, the
probability flow split is performed by splitting the coefficients appearing in stationary FPK
equation, with this splitting being most of times dictated by the detailed balance argument
originating from statistical mechanics. In the present work, the splitting is performed in a novel
way, motivated by the identification of some of the equations replacing the FPK equation as a
potential problem with regard to probability density potential. Then, this splitting methodology is
applied to stochastic oscillators and a class of Hamiltonian systems, reproducing at first results
known from the literature, and consequently generalizing some classes of stochastic oscillators
by identifying a balance between the excitation, the restoring and the dissipative forces.
Last, in chapter 6 of the present thesis, we revisit the results of chapter 5 in order to establish
sufficient conditions under which two stochastic systems share the same stationary response
probability density function (equivalent stochastic systems).
(EN)
National Technical University of Athens
