Στην παρούσα διπλωματική αναπτύσσουμε μια νέα μέθοδο μοντελοποίησης συστημάτων, όταν μόνο η συχνοτική απόκριση πλάτους τους είναι διαθέσιμη, και την εφαρμόζουμε για την εξαγωγή γραμμικών, χρονικά αναλλοίωτων και ευσταθών μοντέλων για διαμορφωτές Σ-Δ που ανήκουν στην κατηγορία των Multi-Step Look-Ahead διαμορφωτών.
Συγκεκριμένα, προτείνουμε μια τεχνική με την οποία μπορούμε να επιλέξουμε τη διέγερση του συστήματος και τη συλλογή δεδομένων από την προσομοίωσή του ώστε τα δεδομένα να είναι αντιπροσωπευτικά. Τα δεδομένα αυτά, στα πρότυπα της αναγνώρισης συστημάτων, υφίστανται φιλτράρισμα και επεξεργασία πριν τη διαδικασία της μοντελοποίησης, ώστε να παρέχουν βέλτιστα αποτελέσματα. Έπειτα, χρησιμοποιείται μια μέθοδος που βασίζεται στο ανάφασμα των δεδομένων εξόδου του συστήματος, με σκοπό αυτά να εμπλουτιστούν με ακολουθία φάσης, η οποία αρχικά δεν ήταν διαθέσιμη.
Η μοντελοποίηση του συστήματος γίνεται με βάση το νέο, επεξεργασμένο σύνολο δεδομένων. Χρησιμοποιείται μια παραλλαγή του αλγόριθμου Vector Fitting, που μοντελοποιεί συστήματα διακριτού χρόνου. Η διαδικασία μοντελοποίησης συστημάτων με ρητά μοντέλα περιλαμβάνει την επίλυση μη γραμμικών συστημάτων ελαχίστων τετραγώνων. Ο Vector Fitting αλγόριθμος γραμμικοποιεί τα μαθηματικά συστήματα μέσω της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων σε επαναλήψεις, και μέσω της ανανέωσης των πόλων του μοντέλου σε κάθε επανάληψη. Συνιστά, επίσης, μια αριθμητικά ευσταθή μέθοδο καθώς μπορεί να μοντελοποιήσει συστήματα σε ένα ευρύ συχνοτικό φάσμα.
Η προτεινόμενη μέθοδος μοντελοποίησης αποτελεί μια τεχνική για ελάττωση της πολυπλοκότητας του συστήματος. Συγκεκριμένα, η επιλογή της πολυπλοκότητας του μοντέλου γίνεται πριν την μοντελοποίηση και σε περίπτωση που είναι μικρότερη από την πολυπλοκότητα του πραγματικού συστήματος, έχει ως αποτέλεσμα ένα μοντέλο το οποίο πλησιάζει με βέλτιστο τρόπο το πραγματικό, διατηρώντας τις κύριες συνιστώσες του μόνο.
Γίνεται, τέλος, εφαρμογή σε κλασσικούς διαμορφωτές Σ-Δ καθώς και στους μη γραμμικούς διαμορφωτές Multi-Step Look-Ahead Σ-Δ. Οι δεύτεροι δεν έχουν μαθηματική σχέση που να συνδέει είσοδο και έξοδο. Με τη χρήση της μεθόδου που προτείνουμε, εξάγουμε σχέσεις για τον θόρυβο στην έξοδό τους με μεγάλη ακρίβεια, χρησιμοποιώντας μόνο στοιχεία πλάτους.
(EL)
System modeling is a rapidly growing engineering topic, and has been under
research for several decades. A model is a mathematical
representation
of a real system that
contributes to its better understanding and to its efficient simulation.
This work proposes a new method for modeling
systems
when frequency response
magnitude data
are only available
.
It
is implemented on
Matlab
and applied to
classical
Sigma
-
Delta modulators, as well as Multi
-
Step Look
-
Ahead ones.
The methodology includes
a technique that enables us to choose properly the
excitation of the real system, so as for the data to be informative. These data are passed
by a
prefilter and decimated,
in order
to achieve good results, as in classic system identification
methods. Furthermore, a phase sequence is inserted in the data, using the complex cepstrum
of the output data of the real system.
Hence
, the absence of phas
e data is overcome.
The core of the modeling procedure is based on the set of filtered data with the
inserted phase sequence. A modification of the Vector Fitting algorithm uses this set to
provide us with a discrete time model. System modeling using ratio
nal models includes
solving nonlinear least squares equations. Vector Fitting linearizes the nonlinear
mathematical equations by solving linear problems
recursively
, and relocating the poles of
the model in each iteration.
In addition, it ensures good nume
rical conditioning and it is
capable of providing accurate results in wide frequency bands.
The proposed method constitutes a technique for model order reduction as well.
More precisely, the model order is selected prior the least squares problem, and in t
he case
that the order chosen is less than the one of the real system, the model retains only the
principal components of it
. It is proven that it matches the spectral behavior of the larger
real system in least
-
squares sense
.
Last, the method is applied t
o Sigma
-
Delta modulators, and Multi
-
Step Look
-
Ahead
ones.
In the latter case, there is no closed form input
-
output mathematical relation proven,
due to the inherent nonlinear dynamics of the modulators.
Using our
method, a relation for
the noise transfer f
unction of the modulators is derived. It demonstrates
good
accuracy
and
makes use of
magnitude data
only
.
(EN)
National Technical University of Athens
